Cele mai importante aspecte ale lecției
- O proporție reprezintă egalitatea a două rapoarte (\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)).
- Termenii de pe diagonala principală (\(a\) și \(d\)) sunt extremi, iar cei de pe diagonala secundară (\(b\) și \(c\)) sunt mezi.
- Regula de aur: Într-o proporție corectă, înmulțirea pe diagonală dă același rezultat (produsul extremilor = produsul mezilor).
- Un termen necunoscut se află mereu înmulțind perechea completă de pe o diagonală și împărțind rezultatul la termenul singur de pe cealaltă diagonală.
Proporția reprezintă egalitatea a două rapoarte care au aceeași valoare.
Dacă două rapoarte \( \frac{a}{b} \) și \( \frac{c}{d} \) formează o proporție, notăm:
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \text{ sau } a : b = c : d \]
Condiție: numitorii trebuie să fie diferiți de zero (\( b \neq 0, d \neq 0 \)).
Numerele \( a, b, c \) și \( d \) se numesc termenii proporției.
- Termenii \( a \) și \( d \) se numesc extremi (deoarece se află la „capetele” scrierii \(a:b=c:d\)).
- Termenii \( b \) și \( c \) se numesc mezi (deoarece se află în „mijlocul” scrierii \(a:b=c:d\)).
Rapoartele \( \frac{8}{4} \) și \( \frac{10}{5} \) au ambele valoarea \(2\). Prin urmare, ele formează proporția \( \frac{8}{4} = \frac{10}{5} \).
Aici, \(8\) și \(5\) sunt extremii, iar \(4\) și \(10\) sunt mezii.
Stabiliți dacă rapoartele \( \frac{7}{6} \) și \( \frac{3,5}{3} \) formează o proporție.
Calculăm valoarea fiecărui raport sau simplificăm/amplificăm pentru a le compara:
Amplificăm al doilea raport cu \(2\) pentru a elimina zecimala: \( \frac{3,5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{7}{6} \).
Deoarece au aceeași valoare, egalitatea \( \frac{7}{6} = \frac{3,5}{3} \) este adevărată, deci formează o proporție.
Amplificăm al doilea raport cu \(2\) pentru a elimina zecimala: \( \frac{3,5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{7}{6} \).
Deoarece au aceeași valoare, egalitatea \( \frac{7}{6} = \frac{3,5}{3} \) este adevărată, deci formează o proporție.
Într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor. Această regulă funcționează și invers: dacă produsul a două numere este egal cu produsul altor două numere, ele pot forma o proporție.
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c \]
(unde \( a, b, c, d \neq 0 \))
O altă metodă de a obține o proporție (sau de a verifica egalitatea a două rapoarte) este prin amplificarea sau simplificarea unui raport cu un număr diferit de zero.
Pentru proporția \( \frac{3}{4} = \frac{15}{20} \), aplicăm proprietatea fundamentală:
Extremi: \(3\) și \(20 \implies 3 \cdot 20 = 60\)
Mezi: \(4\) și \(15 \implies 4 \cdot 15 = 60\)
Deoarece \(60 = 60\), proporția este corectă.
Extremi: \(3\) și \(20 \implies 3 \cdot 20 = 60\)
Mezi: \(4\) și \(15 \implies 4 \cdot 15 = 60\)
Deoarece \(60 = 60\), proporția este corectă.
Folosind proprietatea fundamentală, verificați dacă \( \frac{44}{21} = \frac{11}{5,25} \) este o proporție.
Înmulțim extremii între ei și mezii între ei:
Produsul extremilor: \( 44 \cdot 5,25 = 231 \)
Produsul mezilor: \( 21 \cdot 11 = 231 \)
Deoarece \( 231 = 231 \), egalitatea este adevărată, așadar rapoartele formează o proporție.
Produsul extremilor: \( 44 \cdot 5,25 = 231 \)
Produsul mezilor: \( 21 \cdot 11 = 231 \)
Deoarece \( 231 = 231 \), egalitatea este adevărată, așadar rapoartele formează o proporție.
Dacă cunoaștem trei termeni dintr-o proporție, îl putem afla oricând pe al patrulea folosind proprietatea fundamentală.
\[ \text{un extrem} = \frac{\text{produsul mezilor}}{\text{celălalt extrem}} \]
\[ \text{un mez} = \frac{\text{produsul extremilor}}{\text{celălalt mez}} \]
\[ \text{un mez} = \frac{\text{produsul extremilor}}{\text{celălalt mez}} \]
Să calculăm termenul necunoscut \( x \) din proporția \( \frac{x}{0,75} = \frac{2}{3} \).
\( x \) este un extrem.
Aplicăm regula: \( x = \frac{0,75 \cdot 2}{3} \)
\( x = \frac{1,5}{3} = 0,5 \) (sau \( \frac{1}{2} \))
\( x \) este un extrem.
Aplicăm regula: \( x = \frac{0,75 \cdot 2}{3} \)
\( x = \frac{1,5}{3} = 0,5 \) (sau \( \frac{1}{2} \))
Aflați numărul \( x \) din proporția: \( \frac{4}{2} = \frac{x}{3} \).
Termenul \( x \) este un mez.
Folosim formula pentru aflarea unui mez: \( x = \frac{4 \cdot 3}{2} \)
\( x = \frac{12}{2} \)
\( x = 6 \)
Folosim formula pentru aflarea unui mez: \( x = \frac{4 \cdot 3}{2} \)
\( x = \frac{12}{2} \)
\( x = 6 \)
Probleme de antrenament
Dificultate ușoară:
Determinați termenul necunoscut \( x \) din următoarea proporție: \( \frac{x}{5} = \frac{12}{2} \).
Identificăm poziția lui \( x \). Acesta este un extrem.
\( x = \frac{5 \cdot 12}{2} \)
\( x = \frac{60}{2} = 30 \)
Răspuns: \( x = 30 \)
\( x = \frac{5 \cdot 12}{2} \)
\( x = \frac{60}{2} = 30 \)
Răspuns: \( x = 30 \)
Dificultate medie:
Determinați numărul \( x \) din egalitatea: \( \frac{3x + 1}{11} = 2 \).
Orice număr natural poate fi scris ca un raport cu numitorul \( 1 \). Rescriem ecuația ca o proporție:
\[ \frac{3x + 1}{11} = \frac{2}{1} \]
Aplicăm proprietatea fundamentală (produsul mezilor = produsul extremilor):
\( (3x + 1) \cdot 1 = 11 \cdot 2 \)
\( 3x + 1 = 22 \)
\( 3x = 22 - 1 \)
\( 3x = 21 \)
\( x = 21 : 3 = 7 \)
Răspuns: \( x = 7 \)
\( (3x + 1) \cdot 1 = 11 \cdot 2 \)
\( 3x + 1 = 22 \)
\( 3x = 22 - 1 \)
\( 3x = 21 \)
\( x = 21 : 3 = 7 \)
Răspuns: \( x = 7 \)
Dificultate ridicată:
Știind că valoarea raportului \( \frac{x}{y} \) este \( \frac{2}{3} \), calculați valoarea raportului: \( \frac{5x + 3y}{3x - y} \).
Avem proporția \( \frac{x}{y} = \frac{2}{3} \). De aici putem exprima pe \( x \) în funcție de \( y \):
\( x = \frac{2y}{3} \).
Acum înlocuim această valoare a lui \( x \) în raportul pe care trebuie să îl calculăm: \[ \frac{5 \cdot \left(\frac{2y}{3}\right) + 3y}{3 \cdot \left(\frac{2y}{3}\right) - y} \] Efectuăm înmulțirile: \[ \frac{\frac{10y}{3} + 3y}{2y - y} \] Aducem la același numitor la numărător (amplificăm \( 3y \) cu \( 3 \)): \[ \frac{\frac{10y + 9y}{3}}{y} = \frac{\frac{19y}{3}}{y} \] Împărțirea la \( y \) înseamnă înmulțirea cu inversul său \( \frac{1}{y} \): \[ \frac{19y}{3} \cdot \frac{1}{y} = \frac{19}{3} \]
Răspuns: Valoarea raportului este \( \frac{19}{3} \).
\( x = \frac{2y}{3} \).
Acum înlocuim această valoare a lui \( x \) în raportul pe care trebuie să îl calculăm: \[ \frac{5 \cdot \left(\frac{2y}{3}\right) + 3y}{3 \cdot \left(\frac{2y}{3}\right) - y} \] Efectuăm înmulțirile: \[ \frac{\frac{10y}{3} + 3y}{2y - y} \] Aducem la același numitor la numărător (amplificăm \( 3y \) cu \( 3 \)): \[ \frac{\frac{10y + 9y}{3}}{y} = \frac{\frac{19y}{3}}{y} \] Împărțirea la \( y \) înseamnă înmulțirea cu inversul său \( \frac{1}{y} \): \[ \frac{19y}{3} \cdot \frac{1}{y} = \frac{19}{3} \]
Răspuns: Valoarea raportului este \( \frac{19}{3} \).
