Cele mai importante aspecte ale lecției
1. Complementare: Două unghiuri a căror sumă este \( 90^\circ \). Complementul lui \( x^\circ \) se află prin diferența \( 90^\circ - x^\circ \).
2. Suplementare: Două unghiuri a căror sumă este \( 180^\circ \). Suplementul lui \( x^\circ \) se află prin diferența \( 180^\circ - x^\circ \).
3. Adiacente: Unghiuri „lipite” care împart exact o latură și un vârf comun, fără să li se suprapună spațiul din interior.
2. Suplementare: Două unghiuri a căror sumă este \( 180^\circ \). Suplementul lui \( x^\circ \) se află prin diferența \( 180^\circ - x^\circ \).
3. Adiacente: Unghiuri „lipite” care împart exact o latură și un vârf comun, fără să li se suprapună spațiul din interior.
Două unghiuri se numesc unghiuri suplementare dacă suma măsurilor lor este egală cu \( 180^\circ \). Fiecare dintre cele două unghiuri este suplementul celuilalt.
Suplementul unui unghi cu măsura de \( x^\circ \) este unghiul cu măsura de:
\[ 180^\circ - x^\circ \]
- Dacă două unghiuri suplementare sunt congruente, atunci fiecare este un unghi drept (\( 90^\circ \)).
- Unghiurile care au același suplement sunt congruente.
- Unghiurile congruente au suplemente congruente.
Dacă un unghi are măsura de \( 120^\circ \), suplementul său va fi \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Calculați suplementul unui unghi cu măsura de \( 47^\circ \).
Pentru a afla suplementul, scădem măsura unghiului din \( 180^\circ \):
\( 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ \)
\( 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ \)
Două unghiuri se numesc unghiuri complementare dacă suma măsurilor lor este egală cu \( 90^\circ \). Fiecare dintre cele două unghiuri este complementul celuilalt.
Complementul unui unghi cu măsura de \( x^\circ \) este unghiul cu măsura de:
\[ 90^\circ - x^\circ \]
- Dacă două unghiuri complementare sunt congruente, atunci fiecare are măsura egală cu \( 45^\circ \).
- Unghiurile care au același complement sunt congruente.
- Unghiurile congruente au complemente congruente.
Dacă un unghi are măsura de \( 30^\circ \), complementul său va fi \( 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
Calculați complementul unui unghi cu măsura de \( 62^\circ \).
Pentru a afla complementul, scădem măsura unghiului din \( 90^\circ \):
\( 90^\circ - 62^\circ = 28^\circ \)
\( 90^\circ - 62^\circ = 28^\circ \)
Două unghiuri se numesc unghiuri adiacente dacă îndeplinesc simultan trei condiții: au vârful comun, au o latură comună, iar celelalte două laturi sunt situate de o parte și de alta a laturii comune.
Interioarele a două unghiuri adiacente sunt mulțimi disjuncte (nu au niciun punct interior comun). Dacă interioarele se suprapun parțial sau total, unghiurile NU sunt adiacente.
Două unghiuri au același vârf și o latură comună, dar una dintre celelalte două laturi se află în interiorul primului unghi. Sunt aceste unghiuri adiacente?
Nu. Deoarece o latură se află în interiorul celuilalt unghi, cele două laturi necomune nu sunt de o parte și de alta a laturii comune. Astfel, interioarele lor nu sunt disjuncte, deci nu respectă definiția unghiurilor adiacente.
Probleme practice
Ușoară: Se dă un unghi cu măsura de \( 55^\circ \). Calculați măsura complementului și măsura suplementului său.
Complementul: \( 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ \)
Suplementul: \( 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \)
Suplementul: \( 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \)
Medie: Un unghi are măsura de 4 ori mai mare decât măsura complementului său. Determinați măsura acestui unghi.
Notăm măsura complementului cu \( x \).
Atunci, măsura unghiului este \( 4 \cdot x \).
Știm că suma lor este \( 90^\circ \):
\( x + 4x = 90^\circ \)
\( 5x = 90^\circ \)
\( x = 90^\circ : 5 = 18^\circ \) (măsura complementului)
Măsura unghiului cerut este: \( 4 \cdot 18^\circ = 72^\circ \).
Știm că suma lor este \( 90^\circ \):
\( x + 4x = 90^\circ \)
\( 5x = 90^\circ \)
\( x = 90^\circ : 5 = 18^\circ \) (măsura complementului)
Măsura unghiului cerut este: \( 4 \cdot 18^\circ = 72^\circ \).
Dificilă: Două unghiuri suplementare au măsurile direct proporționale cu numerele 2 și 3. Calculați măsurile celor două unghiuri.
Fie cele două unghiuri \( x \) și \( y \).
Din proporționalitate, avem: \( \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = k \), de unde rezultă \( x = 2k \) și \( y = 3k \).
Fiind suplementare, suma lor este \( 180^\circ \):
\( 2k + 3k = 180^\circ \)
\( 5k = 180^\circ \Rightarrow k = 36^\circ \)
Măsurile unghiurilor sunt:
\( x = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ \)
\( y = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ \)
Din proporționalitate, avem: \( \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = k \), de unde rezultă \( x = 2k \) și \( y = 3k \).
Fiind suplementare, suma lor este \( 180^\circ \):
\( 2k + 3k = 180^\circ \)
\( 5k = 180^\circ \Rightarrow k = 36^\circ \)
Măsurile unghiurilor sunt:
\( x = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ \)
\( y = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ \)
