Cele mai importante aspecte ale lecției
Pentru a rezolva o ecuație de tipul \( ax + c = bx + d \), principiul de bază este separarea termenilor. Trecerea unui termen dintr-o parte în alta a semnului de egalitate se face întotdeauna cu semn schimbat.
Exemplu rapid: \( 3x - 4 = x + 6 \) devine \( 3x - x = 6 + 4 \), de unde rezultă \( 2x = 10 \), adică \( x = 5 \).
Ecuațiile care conduc la același rezultat se numesc echivalente. O soluție este acceptată doar dacă face parte din mulțimea cerută (de exemplu, mulțimea numerelor întregi \( \mathbb{Z} \)).
Exemplu rapid: \( 3x - 4 = x + 6 \) devine \( 3x - x = 6 + 4 \), de unde rezultă \( 2x = 10 \), adică \( x = 5 \).
Ecuațiile care conduc la același rezultat se numesc echivalente. O soluție este acceptată doar dacă face parte din mulțimea cerută (de exemplu, mulțimea numerelor întregi \( \mathbb{Z} \)).
O ecuație într-o mulțime numerică \( M \) este o egalitate care conține un element necunoscut din \( M \), reprezentat printr-o literă (de obicei \( x \)).
Expresiile aflate de o parte și de alta a semnului egal se numesc membrii egalității (membrul stâng și membrul drept).
O soluție a ecuației este orice număr din mulțimea \( M \) care, pus în locul necunoscutei, face ca egalitatea să fie adevărată.
A rezolva o ecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile posibile în mulțimea dată.
Pentru ecuația \( x - x^2 = 3x \):
Membrul stâng este \( x - x^2 \), iar membrul drept este \( 3x \). Literă \( x \) este necunoscuta.
Membrul stâng este \( x - x^2 \), iar membrul drept este \( 3x \). Literă \( x \) este necunoscuta.
Verificați dacă numărul \( -2 \) este soluție pentru ecuația \( -3x + 6 = 12 \).
Înlocuim pe \( x \) cu \( -2 \) în ecuație:
\( -3 \cdot (-2) + 6 = 12 \)
\( 6 + 6 = 12 \)
\( 12 = 12 \) (adevărat).
Răspuns: Da, \( -2 \) este soluție a ecuației.
\( -3 \cdot (-2) + 6 = 12 \)
\( 6 + 6 = 12 \)
\( 12 = 12 \) (adevărat).
Răspuns: Da, \( -2 \) este soluție a ecuației.
Două ecuații care au exact aceleași soluții în aceeași mulțime se numesc ecuații echivalente. Echivalența se notează cu simbolul \( \Leftrightarrow \).
Ecuațiile \( 6x - 5 = 3x + 1 \), \( 3x = 6 \) și \( 12x - 4 = 6x + 8 \) au toate soluția unică \( 2 \), deci putem scrie:
\[ 6x - 5 = 3x + 1 \Leftrightarrow 3x = 6 \Leftrightarrow 12x - 4 = 6x + 8 \]
Pentru a rezolva ecuații, le transformăm în ecuații echivalente mai simple, folosind următoarele proprietăți:
Dacă adunăm sau scădem același număr din ambii membri ai unei ecuații, obținem o ecuație echivalentă.
Regula mutării termenilor: Orice termen poate fi trecut dintr-un membru în celălalt al ecuației, cu condiția să i se schimbe semnul (din \(+\) în \(-\) și invers).
Dacă înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei ecuații cu un număr nenul (diferit de zero), obținem o ecuație echivalentă.
Se trec toți termenii care conțin necunoscuta într-un membru (de obicei în stânga) și toți termenii liberi (numerele simple) în celălalt membru. Atenție la schimbarea semnelor!
Se reduc termenii asemenea din fiecare membru. Se ajunge la o ecuație simplă de forma \( a \cdot x = b \), unde \( a \) este coeficientul necunoscutei, iar \( b \) este termenul liber.
Se împart ambii membri la coeficientul \( a \) (dacă \( a \neq 0 \)). Soluția va fi \( x = b : a \).
Notă pentru mulțimea numerelor întregi (\( \mathbb{Z} \)): Dacă împărțirea nu dă un număr întreg (adică \( a \) nu îl divide pe \( b \)), ecuația nu are soluție în \( \mathbb{Z} \).
Notă pentru mulțimea numerelor întregi (\( \mathbb{Z} \)): Dacă împărțirea nu dă un număr întreg (adică \( a \) nu îl divide pe \( b \)), ecuația nu are soluție în \( \mathbb{Z} \).
Exemplu de rezolvare pas cu pas: Rezolvăm ecuația \( -2t + 9 = 2t + 5 \) în \( \mathbb{Z} \).
| Ecuația obținută | Explicația etapei |
|---|---|
| \( -2t + 9 = 2t + 5 \) | Ecuația inițială. |
| \( -2t = 2t + 5 - 9 \) | Trecem termenul \( +9 \) în membrul drept, schimbându-i semnul (devine \( -9 \)). |
| \( -2t - 2t = +5 - 9 \) | Trecem termenul \( 2t \) în membrul stâng, schimbându-i semnul (devine \( -2t \)). |
| \( -4t = -4 \) | Efectuăm calculele în ambii membri. |
| \( t = 1 \) | Împărțim ambii membri la \( -4 \). Deoarece \( 1 \in \mathbb{Z} \), soluția este validă. Mulțimea soluțiilor: \( S = \{1\} \). |
Probleme de antrenament
Ușoară: Rezolvați în mulțimea numerelor întregi (\( \mathbb{Z} \)) ecuația: \( 7x - 14 = 0 \).
Mutăm termenul liber în partea dreaptă cu semn schimbat:
\( 7x = 14 \)
Împărțim ambii membri la 7:
\( x = 14 : 7 \)
\( x = 2 \)
Deoarece \( 2 \in \mathbb{Z} \), mulțimea soluțiilor este \( S = \{2\} \).
\( 7x = 14 \)
Împărțim ambii membri la 7:
\( x = 14 : 7 \)
\( x = 2 \)
Deoarece \( 2 \in \mathbb{Z} \), mulțimea soluțiilor este \( S = \{2\} \).
Medie: Rezolvați ecuația \( 2x - 1 = -3 \) în mulțimea \( A = \{-3, -2, -1, 2\} \).
Rezolvăm ecuația parcurgând etapele:
\( 2x = -3 + 1 \) (am mutat pe \( -1 \) cu semn schimbat)
\( 2x = -2 \)
\( x = -2 : 2 \)
\( x = -1 \)
Verificăm dacă soluția aparține mulțimii date: \( -1 \in A \).
Prin urmare, mulțimea soluțiilor este \( S = \{-1\} \).
\( 2x = -3 + 1 \) (am mutat pe \( -1 \) cu semn schimbat)
\( 2x = -2 \)
\( x = -2 : 2 \)
\( x = -1 \)
Verificăm dacă soluția aparține mulțimii date: \( -1 \in A \).
Prin urmare, mulțimea soluțiilor este \( S = \{-1\} \).
Dificilă: Rezolvați în mulțimea numerelor întregi (\( \mathbb{Z} \)) ecuația: \( 5(x + 3) = 2(5x - 5) \).
Mai întâi desfacem parantezele (înmulțim factorul din față cu fiecare termen din paranteză):
\( 5x + 15 = 10x - 10 \)
Separăm termenii (mutăm pe \( 10x \) în stânga și pe \( 15 \) în dreapta, schimbând semnele):
\( 5x - 10x = -10 - 15 \)
Efectuăm calculele:
\( -5x = -25 \)
Împărțim la coeficientul lui \( x \), adică la \( -5 \):
\( x = -25 : (-5) \)
\( x = 5 \)
Deoarece \( 5 \in \mathbb{Z} \), mulțimea soluțiilor este \( S = \{5\} \).
\( 5x + 15 = 10x - 10 \)
Separăm termenii (mutăm pe \( 10x \) în stânga și pe \( 15 \) în dreapta, schimbând semnele):
\( 5x - 10x = -10 - 15 \)
Efectuăm calculele:
\( -5x = -25 \)
Împărțim la coeficientul lui \( x \), adică la \( -5 \):
\( x = -25 : (-5) \)
\( x = 5 \)
Deoarece \( 5 \in \mathbb{Z} \), mulțimea soluțiilor este \( S = \{5\} \).
