Cele mai importante aspecte ale lecției
Elementele esențiale despre mediane:
- Definiție: Segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Orice triunghi are 3 mediane.
- Centrul de greutate (\( G \)): Este punctul de intersecție (concurență) al celor 3 mediane.
- Poziția lui \( G \): Se află la \(\frac{2}{3}\) distanță față de vârf și la \(\frac{1}{3}\) față de bază (\( AG = 2 \cdot GM \)).
- Cazul dreptunghic: Mediana dusă pe ipotenuză este egală cu \(\frac{1}{2}\) din lungimea ipotenuzei.
- Arii: O mediană împarte mereu triunghiul în două triunghiuri echivalente (cu arii egale).
Mediana unui triunghi este segmentul determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse.
Deoarece un triunghi are trei vârfuri și trei laturi, orice triunghi are exact trei mediane.
Se măsoară latura opusă vârfului dorit și se fixează mijlocul acesteia.
Se unește vârful cu mijlocul laturii opuse pentru a obține mediana.
În triunghiul \( DEF \), punctul \( P \) aparține laturii \( EF \) astfel încât \( EP = PF \). Cum se numește segmentul \( DP \)?
Deoarece \( P \) este mijlocul laturii \( EF \) (din relația \( EP = PF \)), segmentul \( DP \) care unește vârful \( D \) cu mijlocul laturii opuse se numește mediană.
Într-un triunghi, cele trei mediane sunt concurente (se intersectează într-un singur punct). Acest punct se notează, de regulă, cu \( G \) și se numește centru de greutate al triunghiului.
Centrul de greutate al triunghiului se află pe fiecare mediană la o treime de bază și două treimi de vârf.
Dacă \( AM \) este mediană (\( M \in BC \)) și \( G \) este centrul de greutate:
\[ AG = \frac{2}{3} \cdot AM \quad \text{și} \quad GM = \frac{1}{3} \cdot AM \]
De asemenea, rezultă raportul:
\[ \frac{GM}{AG} = \frac{1}{2} \implies AG = 2 \cdot GM \]
Dacă într-un triunghi mediana \( AM \) are lungimea de \( 15 \text{ cm} \), atunci distanța de la vârf la centrul de greutate este \( AG = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10 \text{ cm} \), iar distanța de la centrul de greutate la bază este \( GM = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5 \text{ cm} \).
În orice triunghi dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din lungimea ipotenuzei.
Într-un triunghi, orice mediană determină două triunghiuri cu arii egale, numite triunghiuri echivalente.
Fie \( AM \) mediana triunghiului \( ABC \):
\[ \mathcal{A}_{\Delta ABM} = \mathcal{A}_{\Delta ACM} = \frac{\mathcal{A}_{\Delta ABC}}{2} \]
Această proprietate a ariilor are loc deoarece triunghiurile \( ABM \) și \( ACM \) au baze egale (\( BM = MC \)) și o înălțime comună (perpendiculara dusă din vârful \( A \) pe latura \( BC \)).
Probleme de antrenament
Ușoară: Într-un triunghi \( ABC \), \( G \) este centrul de greutate, iar \( AM \) este mediana corespunzătoare laturii \( BC \). Dacă lungimea segmentului \( GM = 4 \text{ cm} \), calculați lungimile segmentelor \( AG \) și \( AM \).
Știm că \( AG \) este dublul lui \( GM \):
\( AG = 2 \cdot GM = 2 \cdot 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \).
Lungimea întregii mediane este suma celor două segmente: \( AM = AG + GM = 8 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm} \).
Lungimea întregii mediane este suma celor două segmente: \( AM = AG + GM = 8 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm} \).
Medie: Fie triunghiul dreptunghic \( MNP \) cu unghiul \( \measuredangle M = 90^\circ \). Ipotenuza \( NP \) are lungimea de \( 24 \text{ cm} \). Fie \( O \) mijlocul laturii \( NP \) și \( G \) centrul de greutate al triunghiului. Calculați lungimea segmentului \( MG \).
Deoarece \( MNP \) este dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei \( MO \) este jumătate din ipotenuză:
\( MO = \frac{NP}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ cm} \).
Punctul \( G \) se află la două treimi de vârf pe mediană, deci: \( MG = \frac{2}{3} \cdot MO = \frac{2}{3} \cdot 12 = \frac{24}{3} = 8 \text{ cm} \).
Punctul \( G \) se află la două treimi de vârf pe mediană, deci: \( MG = \frac{2}{3} \cdot MO = \frac{2}{3} \cdot 12 = \frac{24}{3} = 8 \text{ cm} \).
Dificilă: În triunghiul \( ABC \), se construiește mediana \( AD \) (\( D \in BC \)). Se știe că aria triunghiului \( ADC \) este egală cu \( 18 \text{ cm}^2 \). Aflați aria triunghiului \( ABC \). Argumentați dacă mediana \( BE \) (\( E \in AC \)) împarte triunghiul \( ABC \) în două triunghiuri echivalente de aceeași arie ca mediana \( AD \).
Orice mediană împarte triunghiul în două triunghiuri cu arii egale.
Deoarece \( AD \) este mediană, \( \mathcal{A}_{\Delta ABD} = \mathcal{A}_{\Delta ADC} = 18 \text{ cm}^2 \).
Aria triunghiului \( ABC \) este suma ariilor celor două: \( \mathcal{A}_{\Delta ABC} = 18 + 18 = 36 \text{ cm}^2 \).
Da, orice mediană a aceluiași triunghi îl va împărți în două triunghiuri de arii egale cu jumătate din aria totală. Deci mediana \( BE \) va determina triunghiurile \( ABE \) și \( CBE \), ambele având aria de \( 18 \text{ cm}^2 \) (jumătate din \( 36 \text{ cm}^2 \)).
Aria triunghiului \( ABC \) este suma ariilor celor două: \( \mathcal{A}_{\Delta ABC} = 18 + 18 = 36 \text{ cm}^2 \).
Da, orice mediană a aceluiași triunghi îl va împărți în două triunghiuri de arii egale cu jumătate din aria totală. Deci mediana \( BE \) va determina triunghiurile \( ABE \) și \( CBE \), ambele având aria de \( 18 \text{ cm}^2 \) (jumătate din \( 36 \text{ cm}^2 \)).
