II.9. II. Scrieți Rezolvările Complete.

a) Împărțirea cantității de făină

Pasul 1: Stabilirea relației de proporționalitate

Notăm cele trei părți de făină cu \( a \), \( b \) și \( c \). Deoarece acestea sunt direct proporționale cu numerele \( 5 \), \( 9 \) și \( 10 \), putem scrie următorul șir de rapoarte egale: \[ \frac{a}{5} = \frac{b}{9} = \frac{c}{10} = k \] unde \( k \) este coeficientul de proporționalitate.

Pasul 2: Exprimarea părților în funcție de \( k \)

Din rapoartele de mai sus, obținem: \( a = 5 \cdot k \) \( b = 9 \cdot k \) \( c = 10 \cdot k \)

Pasul 3: Utilizarea sumei totale

Știm că suma celor trei părți este egală cu cantitatea totală de făină, adică \( 240 \text{ kg} \): \[ a + b + c = 240 \] Înlocuim expresiile în funcție de \( k \): \[ 5k + 9k + 10k = 240 \] \[ 24k = 240 \]

Pasul 4: Calcularea coeficientului și a celei mai mici părți

Calculăm valoarea lui \( k \): \[ k = 240 : 24 = 10 \] Cea mai mică cantitate corespunde celui mai mic număr din proporție, adică \( a = 5k \): \[ a = 5 \cdot 10 = 50 \text{ kg} \]

b) Calcularea probabilității

Pasul 1: Determinarea numărului total de cazuri posibile

Urna conține bile numerotate de la \( 1 \) la \( 20 \). Prin urmare, numărul total de cazuri posibile este: \[ n = 20 \]

Pasul 2: Identificarea cazurilor favorabile

Cazul favorabil este extragerea unui număr care este divizor al lui \( 30 \) din mulțimea \( \{1, 2, \dots, 20\} \). Divizorii lui \( 30 \) sunt: \( D_{30} = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} \). Numerele din această listă care se regăsesc pe bilele din urnă (până la 20) sunt: \( \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15\} \). Numărăm aceste elemente și obținem numărul cazurilor favorabile: \[ m = 7 \]

Pasul 3: Aplicarea formulei probabilității

Formula probabilității este: \[ P = \frac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}} \] \[ P = \frac{7}{20} \] Pentru a exprima rezultatul sub formă zecimală sau procentuală (opțional): \[ P = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0,35 = 35\% \]

a)

\( \frac{a}{5} = \frac{b}{9} = \frac{c}{10} = k \implies 5k+9k+10k=240 \implies 24k=240 \implies k=10 \) \( \min(a,b,c) = 5 \cdot 10 = 50 \text{ kg} \)

b)

\( n = 20 \); \( \text{Favorabile: } \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15\} \implies m = 7 \) \[ P = \frac{7}{20} = 0,35 \]