Cele mai importante aspecte ale lecției
Suma unghiurilor: Într-un triunghi, cele trei unghiuri interioare însumează mereu \( 180^\circ \). (ex: \( 50^\circ + 60^\circ + 70^\circ = 180^\circ \)).
Triunghiuri speciale: Echilateral = trei unghiuri de \( 60^\circ \). Dreptunghic isoscel = două unghiuri de \( 45^\circ \) și unul de \( 90^\circ \).
Unghiul exterior: Este format de o latură și prelungirea alteia. Măsura lui este suma unghiurilor interioare cu care nu este "vecin" (neadiacente).
Suma unghiurilor exterioare: Cele 6 unghiuri exterioare posibile ale unui triunghi au suma măsurilor de \( 720^\circ \).
Triunghiuri speciale: Echilateral = trei unghiuri de \( 60^\circ \). Dreptunghic isoscel = două unghiuri de \( 45^\circ \) și unul de \( 90^\circ \).
Unghiul exterior: Este format de o latură și prelungirea alteia. Măsura lui este suma unghiurilor interioare cu care nu este "vecin" (neadiacente).
Suma unghiurilor exterioare: Cele 6 unghiuri exterioare posibile ale unui triunghi au suma măsurilor de \( 720^\circ \).
În orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor interioare este egală cu \( 180^\circ \).
Pentru orice triunghi \( ABC \):
\[ \sphericalangle A + \sphericalangle B + \sphericalangle C = 180^\circ \]
Cazuri particulare importante:
- Într-un triunghi echilateral, toate unghiurile sunt congruente, deci fiecare are măsura de \( 180^\circ : 3 = 60^\circ \).
- Într-un triunghi dreptunghic isoscel, unghiul drept are \( 90^\circ \), iar cele două unghiuri ascuțite sunt congruente și au fiecare \( (180^\circ - 90^\circ) : 2 = 45^\circ \).
Dacă într-un triunghi \( ABC \) cunoaștem \( \sphericalangle A = 47^\circ \) și \( \sphericalangle B = 43^\circ \), putem afla al treilea unghi scăzând suma lor din \( 180^\circ \):
\[ \sphericalangle C = 180^\circ - (47^\circ + 43^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]
Unghiul adiacent și suplementar cu un unghi al unui triunghi se numește unghi exterior triunghiului.
Teorema unghiului exterior: Măsura unui unghi exterior unui triunghi este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare triunghiului, neadiacente cu el.
O consecință directă a teoremei este că măsura unui unghi exterior este întotdeauna mai mare decât măsura oricărui unghi interior neadiacent cu el.
Fie unghiul \( \sphericalangle ACD \) unghi exterior triunghiului \( ABC \) (adiacent cu \( \sphericalangle C \)). Atunci:
\[ \sphericalangle ACD = \sphericalangle A + \sphericalangle B \]
Suma unghiurilor exterioare: Prelungind laturile, se pot obține șase unghiuri exterioare pentru orice triunghi (două câte două congruente, fiind opuse la vârf). Suma măsurilor tuturor celor 6 unghiuri exterioare ale unui triunghi este de \( 720^\circ \).
Dacă într-un triunghi unghiurile interioare \( \sphericalangle A \) și \( \sphericalangle B \) au măsurile de \( 70^\circ \), respectiv \( 50^\circ \), atunci unghiul exterior de la vârful \( C \) va avea măsura egală cu \( 70^\circ + 50^\circ = 120^\circ \).
Probleme practice
Ușoară: Măsurile a două unghiuri dintr-un triunghi sunt de \( 54^\circ \) și \( 48^\circ \). Calculați măsura celui de-al treilea unghi.
Suma unghiurilor unui triunghi este \( 180^\circ \).
Notăm al treilea unghi cu \( x \).
\( 54^\circ + 48^\circ + x = 180^\circ \)
\( 102^\circ + x = 180^\circ \)
\( x = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ \)
Răspuns: Măsura celui de-al treilea unghi este \( 78^\circ \).
Notăm al treilea unghi cu \( x \).
\( 54^\circ + 48^\circ + x = 180^\circ \)
\( 102^\circ + x = 180^\circ \)
\( x = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ \)
Răspuns: Măsura celui de-al treilea unghi este \( 78^\circ \).
Medie: Măsurile unghiurilor unui triunghi sunt direct proporționale cu numerele 2, 3 și 5. Determinați măsurile unghiurilor și stabiliți natura triunghiului.
Fie \( x, y, z \) măsurile unghiurilor. Avem \( x + y + z = 180^\circ \).
Din proporționalitate obținem șirul de rapoarte egale:
\( \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = \frac{x+y+z}{2+3+5} = \frac{180^\circ}{10} = 18^\circ \)
Calculăm fiecare unghi:
\( x = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ \)
\( y = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ \)
\( z = 5 \cdot 18^\circ = 90^\circ \)
Răspuns: Unghiurile au \( 36^\circ, 54^\circ \) și \( 90^\circ \). Deoarece un unghi are \( 90^\circ \), triunghiul este dreptunghic.
Din proporționalitate obținem șirul de rapoarte egale:
\( \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = \frac{x+y+z}{2+3+5} = \frac{180^\circ}{10} = 18^\circ \)
Calculăm fiecare unghi:
\( x = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ \)
\( y = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ \)
\( z = 5 \cdot 18^\circ = 90^\circ \)
Răspuns: Unghiurile au \( 36^\circ, 54^\circ \) și \( 90^\circ \). Deoarece un unghi are \( 90^\circ \), triunghiul este dreptunghic.
Dificilă: Măsurile unghiurilor interioare ale unui triunghi sunt reprezentate de expresiile \( 2x - 40^\circ \), \( 2x + 10^\circ \) și \( x \). Determinați valoarea lui \( x \) și calculați unghiul exterior adiacent cu cel mai mic unghi al triunghiului.
1. Suma unghiurilor interioare este \( 180^\circ \):
\( (2x - 40^\circ) + (2x + 10^\circ) + x = 180^\circ \)
\( 5x - 30^\circ = 180^\circ \)
\( 5x = 210^\circ \implies x = 42^\circ \)
2. Înlocuim \( x \) pentru a găsi măsurile unghiurilor interioare:
Primul unghi: \( 2 \cdot 42^\circ - 40^\circ = 84^\circ - 40^\circ = 44^\circ \)
Al doilea unghi: \( 2 \cdot 42^\circ + 10^\circ = 84^\circ + 10^\circ = 94^\circ \)
Al treilea unghi: \( 42^\circ \)
3. Cel mai mic unghi interior este \( 42^\circ \).
Unghiul exterior adiacent cu el este suplementul său:
\( 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ \) (sau calculat ca suma unghiurilor neadiacente: \( 44^\circ + 94^\circ = 138^\circ \)).
Răspuns: \( x = 42^\circ \), iar unghiul exterior cerut are \( 138^\circ \).
\( (2x - 40^\circ) + (2x + 10^\circ) + x = 180^\circ \)
\( 5x - 30^\circ = 180^\circ \)
\( 5x = 210^\circ \implies x = 42^\circ \)
2. Înlocuim \( x \) pentru a găsi măsurile unghiurilor interioare:
Primul unghi: \( 2 \cdot 42^\circ - 40^\circ = 84^\circ - 40^\circ = 44^\circ \)
Al doilea unghi: \( 2 \cdot 42^\circ + 10^\circ = 84^\circ + 10^\circ = 94^\circ \)
Al treilea unghi: \( 42^\circ \)
3. Cel mai mic unghi interior este \( 42^\circ \).
Unghiul exterior adiacent cu el este suplementul său:
\( 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ \) (sau calculat ca suma unghiurilor neadiacente: \( 44^\circ + 94^\circ = 138^\circ \)).
Răspuns: \( x = 42^\circ \), iar unghiul exterior cerut are \( 138^\circ \).
