Cele mai importante aspecte ale lecției
Regula de trei simplă te ajută să afli o a patra proporțională când cunoști trei valori corelate:
- Mărimi Direct Proporționale (d.p.): Se înmulțesc numerele de pe diagonală. Dacă \( a \rightarrow b \) și \( c \rightarrow x \), atunci \( x = \frac{c \cdot b}{a} \).
- Mărimi Invers Proporționale (i.p.): Se înmulțesc numerele de pe aceeași linie. Dacă \( a \rightarrow b \) și \( c \rightarrow x \), atunci \( x = \frac{a \cdot b}{c} \).
Regula de trei simplă este un procedeu matematic folosit pentru a calcula o valoare necunoscută a unei mărimi fizice, atunci când se cunosc alte trei valori, iar mărimile sunt direct proporționale sau invers proporționale.
Pentru a aplica corect regula, trebuie să stabilim mai întâi tipul de proporționalitate dintre cele două mărimi: directă sau inversă. Se așază întotdeauna mărimile de același fel una sub cealaltă.
Două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când una crește (sau scade) de un număr de ori, cealaltă crește (sau scade) de același număr de ori.
Schemă de calcul (înmulțire pe diagonală):
\[ \begin{matrix} a & \dots\dots (d.p.) \dots\dots & b \\ c & \dots\dots\dots\dots\dots\dots & x \end{matrix} \]
\[ x = \frac{c \cdot b}{a} \]
Dacă un scuter consumă 1,8 litri pentru 50 km, cât va consuma pentru 75 km?
\[ \begin{matrix} 50 \text{ km} & \dots\dots (d.p.) \dots\dots & 1,8 \text{ litri} \\ 75 \text{ km} & \dots\dots\dots\dots\dots\dots & x \text{ litri} \end{matrix} \] \[ x = \frac{75 \cdot 1,8}{50} = \frac{135}{50} = 2,7 \text{ litri} \]
\[ \begin{matrix} 50 \text{ km} & \dots\dots (d.p.) \dots\dots & 1,8 \text{ litri} \\ 75 \text{ km} & \dots\dots\dots\dots\dots\dots & x \text{ litri} \end{matrix} \] \[ x = \frac{75 \cdot 1,8}{50} = \frac{135}{50} = 2,7 \text{ litri} \]
Pentru o rețetă destinată pentru 2 persoane sunt necesare 250 g de carne. Câtă carne este necesară pentru 7 persoane?
Numărul de persoane și cantitatea de carne sunt mărimi direct proporționale.
\[ \begin{matrix} 2 \text{ pers.} & \dots & 250 \text{ g} \\ 7 \text{ pers.} & \dots & x \text{ g} \end{matrix} \] \[ x = \frac{7 \cdot 250}{2} = 875 \text{ g} \] Răspuns: 875 g de carne.
\[ \begin{matrix} 2 \text{ pers.} & \dots & 250 \text{ g} \\ 7 \text{ pers.} & \dots & x \text{ g} \end{matrix} \] \[ x = \frac{7 \cdot 250}{2} = 875 \text{ g} \] Răspuns: 875 g de carne.
Două mărimi sunt invers proporționale dacă, atunci când una crește de un număr de ori, cealaltă scade de același număr de ori (și invers).
Schemă de calcul (înmulțire pe orizontală):
\[ \begin{matrix} a & \dots\dots (i.p.) \dots\dots & b \\ c & \dots\dots\dots\dots\dots\dots & x \end{matrix} \]
\[ x = \frac{a \cdot b}{c} \]
Dacă 6 dozatoare îmbuteliază o cantitate de suc în 8 ore, în cât timp vor îmbutelia aceeași cantitate 3 dozatoare? (Mai puține dozatoare înseamnă mai mult timp).
\[ \begin{matrix} 6 \text{ dozatoare} & \dots\dots (i.p.) \dots\dots & 8 \text{ ore} \\ 3 \text{ dozatoare} & \dots\dots\dots\dots\dots\dots & x \text{ ore} \end{matrix} \] \[ x = \frac{6 \cdot 8}{3} = 16 \text{ ore} \]
\[ \begin{matrix} 6 \text{ dozatoare} & \dots\dots (i.p.) \dots\dots & 8 \text{ ore} \\ 3 \text{ dozatoare} & \dots\dots\dots\dots\dots\dots & x \text{ ore} \end{matrix} \] \[ x = \frac{6 \cdot 8}{3} = 16 \text{ ore} \]
Un cumpărător plătește 120 de lei pentru 8 kg de alimente (aflate la lichidare, unde prețul este invers proporțional cu cantitatea). Cât ar plăti dacă ar cumpăra 30 kg?
Deoarece se precizează că mărimile sunt invers proporționale:
\[ \begin{matrix} 8 \text{ kg} & \dots & 120 \text{ lei} \\ 30 \text{ kg} & \dots & x \text{ lei} \end{matrix} \] \[ x = \frac{8 \cdot 120}{30} = 32 \text{ lei} \] Răspuns: 32 de lei.
\[ \begin{matrix} 8 \text{ kg} & \dots & 120 \text{ lei} \\ 30 \text{ kg} & \dots & x \text{ lei} \end{matrix} \] \[ x = \frac{8 \cdot 120}{30} = 32 \text{ lei} \] Răspuns: 32 de lei.
Probleme propuse
Ușoară: Trei litri de lapte costă 19,50 lei. Calculează, folosind regula de trei simplă, cât costă 7 litri de lapte.
Cantitatea de lapte și prețul sunt mărimi direct proporționale (d.p.).
\[ \begin{matrix} 3 \text{ litri} & \dots & 19,50 \text{ lei} \\ 7 \text{ litri} & \dots & x \text{ lei} \end{matrix} \] \[ x = \frac{7 \cdot 19,50}{3} = \frac{136,5}{3} = 45,50 \text{ lei} \] Răspuns: 7 litri de lapte costă 45,50 lei.
\[ \begin{matrix} 3 \text{ litri} & \dots & 19,50 \text{ lei} \\ 7 \text{ litri} & \dots & x \text{ lei} \end{matrix} \] \[ x = \frac{7 \cdot 19,50}{3} = \frac{136,5}{3} = 45,50 \text{ lei} \] Răspuns: 7 litri de lapte costă 45,50 lei.
Medie: Calculează numărul de muncitori necesari pentru a termina o lucrare în 6 ore, știind că 12 muncitori o termină în 8 ore.
Timpul de lucru și numărul de muncitori sunt mărimi invers proporționale (i.p.), deoarece pentru a termina mai repede este nevoie de mai mulți muncitori.
\[ \begin{matrix} 12 \text{ muncitori} & \dots & 8 \text{ ore} \\ x \text{ muncitori} & \dots & 6 \text{ ore} \end{matrix} \] \[ x = \frac{12 \cdot 8}{6} = \frac{96}{6} = 16 \text{ muncitori} \] Răspuns: Sunt necesari 16 muncitori.
\[ \begin{matrix} 12 \text{ muncitori} & \dots & 8 \text{ ore} \\ x \text{ muncitori} & \dots & 6 \text{ ore} \end{matrix} \] \[ x = \frac{12 \cdot 8}{6} = \frac{96}{6} = 16 \text{ muncitori} \] Răspuns: Sunt necesari 16 muncitori.
Dificilă: O cantitate de sirop este îmbuteliată în 20 de sticle de 1,5 litri fiecare. Câte sticle de 2 litri sunt necesare pentru a îmbutelia aceeași cantitate de sirop?
Capacitatea unei sticle și numărul de sticle necesare pentru o cantitate fixă sunt mărimi invers proporționale (i.p.). (Sticle mai mari = mai puține sticle).
\[ \begin{matrix} 1,5 \text{ litri/sticlă} & \dots & 20 \text{ sticle} \\ 2 \text{ litri/sticlă} & \dots & x \text{ sticle} \end{matrix} \] \[ x = \frac{1,5 \cdot 20}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ sticle} \] Răspuns: Sunt necesare 15 sticle de 2 litri.
\[ \begin{matrix} 1,5 \text{ litri/sticlă} & \dots & 20 \text{ sticle} \\ 2 \text{ litri/sticlă} & \dots & x \text{ sticle} \end{matrix} \] \[ x = \frac{1,5 \cdot 20}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ sticle} \] Răspuns: Sunt necesare 15 sticle de 2 litri.
