Cele mai importante aspecte ale lecției
Rezumând:
- Înmulțirea și împărțirea fracțiilor raționale respectă aceeași regulă a semnelor ca numerele întregi.
- Înmulțirea: Se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei: \( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \).
- Împărțirea: Se transformă în înmulțire cu inversul celui de-al doilea termen: \( \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \).
- Atenție maximă la inegalități: înmulțirea sau împărțirea cu un număr strict negativ schimbă sensul inegalității (\(<\) devine \(>\)).
Pentru stabilirea semnului unui produs sau al unui cât de numere raționale se aplică aceleași reguli ca la numerele întregi.
| Înmulțire | Împărțire | Rezultat |
|---|---|---|
| \( (+) \cdot (+) \) | \( (+) : (+) \) | \( + \) (Pozitiv) |
| \( (-) \cdot (-) \) | \( (-) : (-) \) | \( + \) (Pozitiv) |
| \( (+) \cdot (-) \) | \( (+) : (-) \) | \( - \) (Negativ) |
| \( (-) \cdot (+) \) | \( (-) : (+) \) | \( - \) (Negativ) |
Doi factori cu același semn dau un rezultat pozitiv: \( \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = +\frac{3}{10} \)
Doi factori cu semne diferite dau un rezultat negativ: \( \left(+\frac{3}{4}\right) : \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{6}{4} \)
Doi factori cu semne diferite dau un rezultat negativ: \( \left(+\frac{3}{4}\right) : \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{6}{4} \)
Pentru a calcula produsul a două numere raționale scrise sub formă de fracții ordinare, se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei.
\[ \frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q} = \frac{m \cdot p}{n \cdot q} \]
unde \(m, n, p, q\) sunt numere întregi, iar \(n\) și \(q\) sunt nenule (\(\neq 0\)).
Numerele care se înmulțesc se numesc factori, iar rezultatul se numește produs.
Este recomandat să simplificați fracțiile (dacă este posibil) înainte de a efectua înmulțirea propriu-zisă, pentru a lucra cu numere mai mici.
\[ -\frac{3}{5} \cdot \frac{10}{9} = -\frac{3 \cdot 10}{5 \cdot 9} = -\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = -\frac{2}{3} \]
(S-a simplificat 3 cu 9 prin 3, și 10 cu 5 prin 5).
Inversul unui număr rațional: Numărul rațional \( \frac{q}{p} \) este inversul numărului rațional \( \frac{p}{q} \). Orice număr rațional nenul \(a\) are un invers notat cu \( \frac{1}{a} \) sau \( a^{-1} \).
Pentru a împărți două fracții ordinare, se înmulțește prima fracție cu inversa celei de-a doua.
\[ \frac{m}{n} : \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \cdot \frac{q}{p} \]
unde \(m, n, p, q\) sunt numere întregi nenule.
Termenii împărțirii se numesc deîmpărțit (primul număr) și împărțitor (al doilea număr), iar rezultatul se numește cât.
\[ -\frac{9}{8} : \frac{27}{16} = -\frac{9}{8} \cdot \frac{16}{27} = -\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = -\frac{2}{3} \]
Înmulțirea numerelor raționale păstrează toate proprietățile înmulțirii cunoscute de la numerele întregi. Oricare ar fi numerele raționale \(a, b, c\):
- Comutativitatea: \( a \cdot b = b \cdot a \)
- Asociativitatea: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
- Element neutru: Numărul 1 este element neutru. \( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \)
- Elemente inverse: Produsul dintre un număr rațional nenul și inversul său este 1. \( a \cdot \frac{1}{a} = 1 \)
- Distributivitatea: Față de adunare și scădere. \( a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c \)
Calcul prin distributivitate:
\[ -\frac{3}{5} \cdot \left( \frac{1}{9} - \frac{4}{3} \right) = \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \frac{1}{9} - \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \frac{4}{3} = -\frac{1}{15} + \frac{4}{5} = \frac{11}{15} \]
Pentru egalități: La înmulțirea sau împărțirea ambilor membri ai unei egalități cu un număr rațional nenul, egalitatea se păstrează.
Dacă \( a = b \), atunci \( a \cdot c = b \cdot c \) și \( a : c = b : c \) (pentru \( c \neq 0 \)).
Dacă \( a = b \), atunci \( a \cdot c = b \cdot c \) și \( a : c = b : c \) (pentru \( c \neq 0 \)).
Pentru inegalități (Atenție la semnul lui \(c\)!):
- Dacă înmulțim/împărțim cu un număr pozitiv (\(c > 0\)), se păstrează sensul inegalității.
\(a < b \implies a \cdot c < b \cdot c\) - Dacă înmulțim/împărțim cu un număr negativ (\(c < 0\)), se schimbă sensul inegalității.
\(a < b \implies a \cdot c > b \cdot c\)
Probleme propuse
Problemă Ușoară: Scrieți inversul următoarelor numere raționale: \( \frac{4}{7} \) , \( -5 \) și \( -\frac{1}{3} \).
Inversul unui număr se obține "răsturnând" fracția (schimbând numărătorul cu numitorul), păstrând semnul.
- Pentru \( \frac{4}{7} \), inversul este \( \frac{7}{4} \).
- Pentru \( -5 \) (care se poate scrie \( -\frac{5}{1} \)), inversul este \( -\frac{1}{5} \).
- Pentru \( -\frac{1}{3} \), inversul este \( -\frac{3}{1} = -3 \).
- Pentru \( \frac{4}{7} \), inversul este \( \frac{7}{4} \).
- Pentru \( -5 \) (care se poate scrie \( -\frac{5}{1} \)), inversul este \( -\frac{1}{5} \).
- Pentru \( -\frac{1}{3} \), inversul este \( -\frac{3}{1} = -3 \).
Problemă Medie: Efectuați următoarele calcule, respectând regula semnelor și simplificând rezultatul acolo unde este posibil:
a) \( \left(-\frac{4}{9}\right) \cdot \left(-\frac{27}{8}\right) \)
b) \( \frac{15}{14} : \left(-\frac{5}{7}\right) \)
a) \( \left(-\frac{4}{9}\right) \cdot \left(-\frac{27}{8}\right) \)
b) \( \frac{15}{14} : \left(-\frac{5}{7}\right) \)
a) Minus ori minus dă plus. Înmulțim fracțiile și simplificăm pe diagonală (4 cu 8, 9 cu 27):
\( \left(-\frac{4}{9}\right) \cdot \left(-\frac{27}{8}\right) = +\left(\frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 8}\right) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2} \).
b) Plus împărțit la minus dă minus. Transformăm împărțirea în înmulțire cu inversul:
\( \frac{15}{14} \cdot \left(-\frac{7}{5}\right) = -\left(\frac{15 \cdot 7}{14 \cdot 5}\right) = -\left(\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1}\right) = -\frac{3}{2} \).
\( \left(-\frac{4}{9}\right) \cdot \left(-\frac{27}{8}\right) = +\left(\frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 8}\right) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2} \).
b) Plus împărțit la minus dă minus. Transformăm împărțirea în înmulțire cu inversul:
\( \frac{15}{14} \cdot \left(-\frac{7}{5}\right) = -\left(\frac{15 \cdot 7}{14 \cdot 5}\right) = -\left(\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1}\right) = -\frac{3}{2} \).
Problemă Grea: Calculați, respectând ordinea efectuării operațiilor:
\( -2 \cdot \left[ -0,5 + \frac{11}{7} : \left(-\frac{22}{14}\right) \right] \)
\( -2 \cdot \left[ -0,5 + \frac{11}{7} : \left(-\frac{22}{14}\right) \right] \)
Transformăm fracția zecimală: \(-0,5 = -\frac{1}{2}\).
Calculăm prima dată împărțirea din paranteză:
\( \frac{11}{7} : \left(-\frac{22}{14}\right) = \frac{11}{7} \cdot \left(-\frac{14}{22}\right) \)
Simplificăm 11 cu 22 (rămâne 2 la numitor) și 14 cu 7 (rămâne 2 la numărător):
\( = -\frac{11 \cdot 14}{7 \cdot 22} = -\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 2} = -1 \).
Înlocuim în expresia inițială paranteza pătrată:
\( \left[ -\frac{1}{2} - 1 \right] = \left[ \frac{-1 - 2}{2} \right] = -\frac{3}{2} \).
Finalizăm înmulțirea cu termenul din afara parantezei:
\( -2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = + \frac{2 \cdot 3}{2} = 3 \).
Calculăm prima dată împărțirea din paranteză:
\( \frac{11}{7} : \left(-\frac{22}{14}\right) = \frac{11}{7} \cdot \left(-\frac{14}{22}\right) \)
Simplificăm 11 cu 22 (rămâne 2 la numitor) și 14 cu 7 (rămâne 2 la numărător):
\( = -\frac{11 \cdot 14}{7 \cdot 22} = -\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 2} = -1 \).
Înlocuim în expresia inițială paranteza pătrată:
\( \left[ -\frac{1}{2} - 1 \right] = \left[ \frac{-1 - 2}{2} \right] = -\frac{3}{2} \).
Finalizăm înmulțirea cu termenul din afara parantezei:
\( -2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = + \frac{2 \cdot 3}{2} = 3 \).
