Cele mai importante aspecte ale lecției
- T. Pitagora: \( \text{Catetă}^2 + \text{Catetă}^2 = \text{Ipotenuză}^2 \). Te ajută să afli o latură necunoscută când le știi pe celelalte două.
- T. Medianei: Mediana care cade pe ipotenuză este jumătate din ipotenuză. (ex: Ipotenuză de 10 cm \(\rightarrow\) Mediana de 5 cm).
- T. 30°–60°–90°: Cateta de vizavi de unghiul de \( 30^\circ \) este jumătate din ipotenuză. (ex: Ipotenuză de 20 cm \(\rightarrow\) Cateta opusă de 10 cm).
- Centrul cercului: Mijlocul ipotenuzei este centrul cercului circumscris, iar raza cercului este egală cu lungimea medianei.
Teorema medianei: Dacă un triunghi este dreptunghic, atunci lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
În \( \Delta ABC \) cu \( \measuredangle A = 90^\circ \) și \( M \in BC \) (unde \( BM = MC \)):
\[ AM = \frac{BC}{2} \]
Reciproca teoremei medianei: Dacă într-un triunghi lungimea unei mediane este egală cu jumătate din lungimea laturii pe care cade, atunci triunghiul este dreptunghic (având unghiul drept opus acelei laturi).
Într-un triunghi dreptunghic \( ABC \) cu \( \measuredangle A = 90^\circ \), lungimea ipotenuzei \( BC \) este de \( 14 \text{ cm} \). Calculați lungimea medianei \( AM \).
Conform teoremei medianei, \( AM = \frac{BC}{2} \).
\( AM = \frac{14}{2} = 7 \text{ cm} \).
\( AM = \frac{14}{2} = 7 \text{ cm} \).
Teorema 30°–60°–90°: Într-un triunghi dreptunghic care are un unghi cu măsura de \( 30^\circ \), lungimea catetei care se opune acestui unghi este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
Reciproca teoremei 30°–60°–90°: Dacă într-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este jumătate din lungimea ipotenuzei, atunci măsura unghiului opus acelei catete este egală cu \( 30^\circ \).
Fie \( \Delta ABC \) dreptunghic în \( A \), cu \( \measuredangle C = 30^\circ \). Dacă ipotenuza \( BC = 18 \text{ cm} \), aflați lungimea catetei \( AB \).
Deoarece \( AB \) este cateta opusă unghiului de \( 30^\circ \) (adică \( \measuredangle C \)), aplicăm teorema 30°–60°–90°:
\( AB = \frac{BC}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ cm} \).
\( AB = \frac{BC}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ cm} \).
Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
Dacă \( \Delta ABC \) este dreptunghic cu \( \measuredangle A = 90^\circ \):
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
Sau, notând laturile cu \( a \) (ipotenuza), \( b \), \( c \) (catetele):
\[ a^2 = b^2 + c^2 \]
Numere pitagoreice: Orice triplet de numere naturale \( (a, b, c) \) care respectă relația \( a^2 + b^2 = c^2 \). Acestea pot reprezenta laturile unui triunghi dreptunghic.
Cel mai cunoscut triplet pitagoreic este (3, 4, 5), deoarece \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \), iar \( 5^2 = 25 \).
Multiplii acestor numere formează, de asemenea, triplete pitagoreice (ex: înmulțind cu 2, obținem \( 6, 8, 10 \)). Alte triplete comune: \( (5, 12, 13) \), \( (8, 15, 17) \).
Multiplii acestor numere formează, de asemenea, triplete pitagoreice (ex: înmulțind cu 2, obținem \( 6, 8, 10 \)). Alte triplete comune: \( (5, 12, 13) \), \( (8, 15, 17) \).
Într-un triunghi dreptunghic, catetele au lungimile \( AB = 5 \text{ cm} \) și \( AC = 12 \text{ cm} \). Calculați lungimea ipotenuzei \( BC \).
Aplicăm Teorema lui Pitagora:
\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)
\( BC^2 = 5^2 + 12^2 \)
\( BC^2 = 25 + 144 = 169 \)
\( BC = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \).
\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)
\( BC^2 = 5^2 + 12^2 \)
\( BC^2 = 25 + 144 = 169 \)
\( BC = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \).
Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic se află exact în mijlocul ipotenuzei.
Deoarece centrul se află la mijlocul ipotenuzei, raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză. Aceasta este o consecință directă a Teoremei medianei (mediana, fiind egală cu jumătate din ipotenuză, este echivalentă cu raza acestui cerc).
Probleme practice
Ușoară: Verificați dacă un triunghi cu laturile de \( 8 \text{ cm} \), \( 15 \text{ cm} \) și \( 17 \text{ cm} \) este un triunghi dreptunghic.
Pasul 1: Identificăm latura cea mai lungă, care ar trebui să fie ipotenuza (17).
Pasul 2: Verificăm dacă relația lui Pitagora este adevărată: \( 8^2 + 15^2 = 17^2 \).
\( 64 + 225 = 289 \)
\( 289 = 289 \)
Răspuns: Deoarece egalitatea se verifică (triplet pitagoreic), triunghiul este dreptunghic.
Pasul 2: Verificăm dacă relația lui Pitagora este adevărată: \( 8^2 + 15^2 = 17^2 \).
\( 64 + 225 = 289 \)
\( 289 = 289 \)
Răspuns: Deoarece egalitatea se verifică (triplet pitagoreic), triunghiul este dreptunghic.
Medie: Fie \( \Delta MNP \) dreptunghic în \( M \), cu \( \measuredangle P = 30^\circ \). Se știe că latura \( MN = 7 \text{ cm} \). Calculați lungimea ipotenuzei \( NP \) și a medianei corespunzătoare acesteia, notată \( MQ \) (unde \( Q \) este mijlocul lui \( NP \)).
Pasul 1: Deoarece \( \measuredangle P = 30^\circ \), cateta opusă acestuia este \( MN \). Conform teoremei 30°–60°–90°, cateta opusă unghiului de \( 30^\circ \) este jumătate din ipotenuză:
\( MN = \frac{NP}{2} \Rightarrow 7 = \frac{NP}{2} \Rightarrow NP = 14 \text{ cm} \).
Pasul 2: Mediana \( MQ \) corespunde ipotenuzei \( NP \). Conform teoremei medianei, \( MQ = \frac{NP}{2} \).
\( MQ = \frac{14}{2} = 7 \text{ cm} \).
Răspuns: \( NP = 14 \text{ cm} \); \( MQ = 7 \text{ cm} \).
\( MN = \frac{NP}{2} \Rightarrow 7 = \frac{NP}{2} \Rightarrow NP = 14 \text{ cm} \).
Pasul 2: Mediana \( MQ \) corespunde ipotenuzei \( NP \). Conform teoremei medianei, \( MQ = \frac{NP}{2} \).
\( MQ = \frac{14}{2} = 7 \text{ cm} \).
Răspuns: \( NP = 14 \text{ cm} \); \( MQ = 7 \text{ cm} \).
Dificilă: Într-un triunghi dreptunghic \( ABC \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \)), se trasează înălțimea \( AH \perp BC \) (\( H \in BC \)). Se cunoaște că \( \measuredangle C = 30^\circ \) și ipotenuza \( BC = 24 \text{ cm} \). Calculați lungimea segmentelor \( AB \), \( AH \) și \( BH \).
Calcul \( AB \): În \( \Delta ABC \), aplicăm teorema 30°–60°–90°:
\( AB = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ cm} \).
Calcul \( AH \): Analizăm \( \Delta AHC \) (dreptunghic în \( H \), deoarece \( AH \) e înălțime). Suma unghiurilor în \( \Delta ABC \) ne dă \( \measuredangle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
Ne mutăm în \( \Delta AHB \) (dreptunghic în \( H \)). \( \measuredangle B = 60^\circ \Rightarrow \measuredangle BAH = 30^\circ \).
Calcul \( BH \): În \( \Delta AHB \), latura opusă unghiului de \( 30^\circ \) (\( \measuredangle BAH \)) este \( BH \). Ipotenuza acestui triunghi mic este \( AB \) (pe care am aflat-o ca fiind \( 12 \text{ cm} \)).
\( BH = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \).
(Opțional) Calcul \( AH \): Aplicăm Pitagora în \( \Delta AHB \): \( AH^2 = AB^2 - BH^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108 \Rightarrow AH = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ cm} \).
\( AB = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ cm} \).
Calcul \( AH \): Analizăm \( \Delta AHC \) (dreptunghic în \( H \), deoarece \( AH \) e înălțime). Suma unghiurilor în \( \Delta ABC \) ne dă \( \measuredangle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
Ne mutăm în \( \Delta AHB \) (dreptunghic în \( H \)). \( \measuredangle B = 60^\circ \Rightarrow \measuredangle BAH = 30^\circ \).
Calcul \( BH \): În \( \Delta AHB \), latura opusă unghiului de \( 30^\circ \) (\( \measuredangle BAH \)) este \( BH \). Ipotenuza acestui triunghi mic este \( AB \) (pe care am aflat-o ca fiind \( 12 \text{ cm} \)).
\( BH = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \).
(Opțional) Calcul \( AH \): Aplicăm Pitagora în \( \Delta AHB \): \( AH^2 = AB^2 - BH^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108 \Rightarrow AH = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ cm} \).
