Cel mai mic multiplu de 25 de 3 cifre:
\( M_{25} \cap \{100, 101, \dots, 999\} \implies 25 \cdot 4 = 100 \)
Cel mai mare pătrat perfect de 3 cifre:
\( 31^2 = 961 < 1000 \)
\( 32^2 = 1024 > 999 \)
Pătratul perfect este 961.
Suma: \( 100 + 961 = 1061 \)
b)
Cea mai mare putere a lui 2 de 4 cifre:
\( 2^{10} = 1024 \)
\( 2^{11} = 2048 \)
\( 2^{12} = 4096 \)
\( 2^{13} = 8192 \)
\( 2^{14} = 16384 \)
Puterea este \( 2^{13} = 8192 \).
Cel mai mic număr prim de 3 cifre:
100 este compus
101 este prim (nu se divide cu 2, 3, 5, 7)
Diferența: \( 8192 - 101 = 8091 \)
Rezolvare detaliată
a) Calculați suma dintre cel mai mic număr natural de trei cifre care este multiplu de 25 și cel mai mare număr natural de trei cifre care este pătrat perfect.
Pasul 1: Determinarea celui mai mic multiplu de 25 de trei cifre
Căutăm cel mai mic număr din mulțimea \( M_{25} = \{0, 25, 50, 75, 100, 125, \dots\} \) care are trei cifre.
Observăm că primul număr de trei cifre din acest șir este \( 100 \).
Deci, cel mai mic multiplu de 25 de trei cifre este \( 100 \).
Pasul 2: Determinarea celui mai mare pătrat perfect de trei cifre
Un număr este pătrat perfect dacă este de forma \( n^2 \). Știm că:
\( 31^2 = 961 \)
\( 32^2 = 1024 \) (acesta are deja patru cifre).
Prin urmare, cel mai mare pătrat perfect de trei cifre este \( 961 \).
Pasul 3: Calcularea sumei
Adunăm cele două numere găsite:
\( 100 + 961 = 1061 \).
b) Calculați diferența dintre cel mai mare număr natural de patru cifre, putere a lui 2 și cel mai mic număr prim de trei cifre.
Pasul 1: Determinarea celei mai mari puteri a lui 2 de patru cifre
Calculăm puterile succesive ale lui 2:
\( 2^{10} = 1024 \)
\( 2^{11} = 2048 \)
\( 2^{12} = 4096 \)
\( 2^{13} = 8192 \)
\( 2^{14} = 16384 \) (acesta are cinci cifre).
Deci, cea mai mare putere a lui 2 de patru cifre este \( 2^{13} = 8192 \).
Pasul 2: Determinarea celui mai mic număr prim de trei cifre
Numerele de trei cifre încep de la 100.
100 este par, deci nu e prim.
101 nu se divide cu numerele prime mai mici decât \( \sqrt{101} \approx 10 \) (adică 2, 3, 5, 7).
Cum 101 nu este divizibil cu niciunul dintre acestea, 101 este număr prim.
Deci, cel mai mic număr prim de trei cifre este \( 101 \).
Pasul 3: Calcularea diferenței
Scădem numărul prim din puterea lui 2:
\( 8192 - 101 = 8091 \).
