Cele mai importante aspecte ale lecției
Aritmetică și mulțimi: \( \frac{a}{b} \in \mathbb{Z} \) doar dacă \( b \) divide pe \( a \). Numărul elementelor strict între \( n_1 \) și \( n_2 \) este \( n_2 - n_1 - 1 \).
Proporții și procente: \( \frac{a}{x} = \frac{b}{y} \) pentru mărimi direct proporționale. O ieftinire/scădere cu \( p\% \) se scrie \( n - \frac{p}{100} \cdot n \).
Puteri: Baze la fel \(\Rightarrow\) adunăm exponenții la înmulțire (\( a^{m+n} \)) și îi scădem la împărțire (\( a^{m-n} \)). Exponent negativ: inversăm baza.
Inegalități: \( |x| < a \Rightarrow -a < x < a \).
Proporții și procente: \( \frac{a}{x} = \frac{b}{y} \) pentru mărimi direct proporționale. O ieftinire/scădere cu \( p\% \) se scrie \( n - \frac{p}{100} \cdot n \).
Puteri: Baze la fel \(\Rightarrow\) adunăm exponenții la înmulțire (\( a^{m+n} \)) și îi scădem la împărțire (\( a^{m-n} \)). Exponent negativ: inversăm baza.
Inegalități: \( |x| < a \Rightarrow -a < x < a \).
Mulțimi. Mulțimea Numerelor Naturale
Mulțimea este o colecție de obiecte bine determinate și distincte, numite elementele mulțimii.
Pentru „aparține” se folosește simbolul \( \in \), iar pentru „nu aparține” se folosește simbolul \( \notin \).
Mulțimea fără niciun element se numește mulțime vidă și se notează cu \( \emptyset \).
Numărul de elemente ale unei mulțimi se numește cardinalul mulțimii (notat \( \text{card } A \)). O mulțime poate fi finită (număr limitat de elemente) sau infinită (o infinitate de elemente).
O mulțime se poate reprezenta prin:
- Enumerarea elementelor: ex. \( A = \{0, 1, 2, 3\} \)
- Diagramă Venn-Euler: o curbă închisă în care se scriu elementele.
- Proprietate caracteristică: ex. \( A = \{x \mid x \in \mathbb{N} \text{ și } x \le 3\} \)
Mulțimea numerelor naturale se notează cu \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \). Fără zero, se notează \( \mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \dots\} \).
Fie mulțimea \( M = \{x \mid x \text{ este cifră pară}\} \). Scrieți mulțimea prin enumerarea elementelor și determinați cardinalul ei.
Cifrele pare sunt 0, 2, 4, 6 și 8.
Prin urmare, \( M = \{0, 2, 4, 6, 8\} \).
\( \text{card } M = 5 \).
Prin urmare, \( M = \{0, 2, 4, 6, 8\} \).
\( \text{card } M = 5 \).
Mulțimi egale (\( A = B \)): Două mulțimi care au exact aceleași elemente.
Incluziunea (\( A \subset B \)): Mulțimea \( A \) este inclusă în mulțimea \( B \) (sau \( A \) este submulțime a lui \( B \)) dacă toate elementele lui \( A \) aparțin și lui \( B \).
Dacă \( A \) nu este inclusă în \( B \), notăm \( A \not\subset B \). Dacă \( B \) include pe \( A \), notăm \( B \supset A \).
Proprietăți ale incluziunii:
- \( \emptyset \subset A \) (Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi).
- \( A \subset A \) (Orice mulțime este inclusă în ea însăși).
- Dacă \( A \subset B \) și \( B \subset A \), atunci \( A = B \).
Reuniunea (\( A \cup B \)): Elementele care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimi.
\[ x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \text{ sau } x \in B \]
Intersecția (\( A \cap B \)): Elementele comune celor două mulțimi.
\[ x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \text{ și } x \in B \]
Dacă \( A \cap B = \emptyset \), mulțimile se numesc disjuncte.
Diferența (\( A \setminus B \)): Elementele care aparțin lui \( A \) și nu aparțin lui \( B \).
\[ x \in A \setminus B \Leftrightarrow x \in A \text{ și } x \notin B \]
Relația cardinalelor:
\[ \text{card}(A \cup B) = \text{card } A + \text{card } B - \text{card}(A \cap B) \]
Fie \( A = \{1, 2, 3\} \) și \( B = \{3, 4, 5\} \). Calculați \( A \cup B \), \( A \cap B \) și \( A \setminus B \).
\( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
\( A \cap B = \{3\} \)
\( A \setminus B = \{1, 2\} \)
\( A \cap B = \{3\} \)
\( A \setminus B = \{1, 2\} \)
Numărul natural \( a \) este divizibil cu numărul natural nenul \( b \) dacă există un număr natural \( c \) astfel încât \( a = b \cdot c \).
Notăm \( a \vdots b \) („a este divizibil cu b”) sau \( b \mid a \) („b divide a”).
\( a \) este multiplu (mulțime infinită de multipli), iar \( b \) este divizor (mulțime finită de divizori).
\( a \) este multiplu (mulțime infinită de multipli), iar \( b \) este divizor (mulțime finită de divizori).
Proprietăți ale divizibilității:
- \( 1 \mid a \) și \( a \mid a \) pentru orice \( a \in \mathbb{N} \).
- Tranzitivitatea: Dacă \( a \mid b \) și \( b \mid c \Rightarrow a \mid c \).
- Dacă un număr divide doi termeni, divide și suma/diferența lor: \( a \mid b \) și \( a \mid c \Rightarrow a \mid (b + c) \) și \( a \mid (b - c) \).
- Dacă un număr divide un factor al unui produs, divide întregul produs: \( a \mid b \Rightarrow a \mid (b \cdot c) \).
Criterii derivate de divizibilitate:
Un număr este divizibil cu:
- 6: dacă se divide cu 2 și cu 3.
- 12: dacă se divide cu 3 și cu 4.
- 15: dacă se divide cu 3 și cu 5.
- 18: dacă se divide cu 2 și cu 9.
Orice număr compus poate fi scris ca un produs de puteri de numere prime. Acest proces se numește descompunerea în factori primi.
Se împarte succesiv numărul la numere prime (2, 3, 5, 7, 11...), începând cu cel mai mic, până când câtul devine 1.
\( 72 : 2 = 36 \)
\( 36 : 2 = 18 \)
\( 18 : 2 = 9 \)
\( 9 : 3 = 3 \)
\( 3 : 3 = 1 \)
Rezultă: \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \).
\( 36 : 2 = 18 \)
\( 18 : 2 = 9 \)
\( 9 : 3 = 3 \)
\( 3 : 3 = 1 \)
Rezultă: \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \).
Cum demonstrăm că un număr este prim? Se verifică divizibilitatea cu numerele prime succesive prin împărțire. Dacă obținem un cât mai mic decât împărțitorul, iar restul este mereu nenul, numărul este prim (ex. pentru 311).
Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.), notat \( (a, b) \), este produsul factorilor primi comuni, luați o singură dată, la puterea cea mai mică.
Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.), notat \( [a, b] \), este produsul factorilor primi comuni și necomuni, luați o singură dată, la puterea cea mai mare.
Dacă \( (a, b) = 1 \), numerele se numesc numere prime între ele (au ca singur divizor comun pe 1).
Relația fundamentală între produsul a două numere naturale, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.:
\[ a \cdot b = (a, b) \cdot [a, b] \]
Pentru 72 (\( 2^3 \cdot 3^2 \)) și 240 (\( 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \)):
\( (72, 240) = 2^3 \cdot 3 = 24 \)
\( [72, 240] = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720 \)
\( (72, 240) = 2^3 \cdot 3 = 24 \)
\( [72, 240] = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720 \)
Probleme practice
Ușoară: Se dau mulțimile \( A = \{2, 4, 6, 8\} \) și \( B = \{6, 8, 10\} \). Determinați \( A \cup B \), \( A \cap B \), \( A \setminus B \) și \( B \setminus A \).
\( A \cup B = \{2, 4, 6, 8, 10\} \) (reunim toate elementele)
\( A \cap B = \{6, 8\} \) (elementele comune)
\( A \setminus B = \{2, 4\} \) (elementele din A care nu sunt în B)
\( B \setminus A = \{10\} \) (elementele din B care nu sunt în A)
\( A \cap B = \{6, 8\} \) (elementele comune)
\( A \setminus B = \{2, 4\} \) (elementele din A care nu sunt în B)
\( B \setminus A = \{10\} \) (elementele din B care nu sunt în A)
Medie: Știind că produsul a două numere naturale \( a \) și \( b \) este 144, iar cel mai mare divizor comun al lor, \( (a, b) \), este 3, aflați cel mai mic multiplu comun al acestora, \( [a, b] \).
Folosim formula fundamentală: \( a \cdot b = (a, b) \cdot [a, b] \).
Înlocuim datele cunoscute: \( 144 = 3 \cdot [a, b] \).
\( [a, b] = 144 : 3 = 48 \).
Răspuns: C.m.m.m.c. este 48.
Înlocuim datele cunoscute: \( 144 = 3 \cdot [a, b] \).
\( [a, b] = 144 : 3 = 48 \).
Răspuns: C.m.m.m.c. este 48.
Dificilă: Într-o școală, elevii pot fi așezați în rânduri de câte 12, 15 sau 18, și de fiecare dată rămân 5 elevi în afara formației. Aflați numărul elevilor din școală, știind că acesta este cel mai mic număr natural care îndeplinește aceste condiții.
Fie \( n \) numărul de elevi. Din datele problemei rezultă că \( n - 5 \) se împarte exact la 12, 15 și 18.
Prin urmare, \( n - 5 \) este multiplu comun al numerelor 12, 15 și 18. Deoarece căutăm cel mai mic \( n \), trebuie să calculăm c.m.m.m.c. al numerelor:
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
\( 18 = 2 \cdot 3^2 \)
\( [12, 15, 18] = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180 \).
Așadar, \( n - 5 = 180 \), de unde rezultă \( n = 185 \).
Răspuns: În școală sunt 185 de elevi.
Prin urmare, \( n - 5 \) este multiplu comun al numerelor 12, 15 și 18. Deoarece căutăm cel mai mic \( n \), trebuie să calculăm c.m.m.m.c. al numerelor:
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
\( 18 = 2 \cdot 3^2 \)
\( [12, 15, 18] = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180 \).
Așadar, \( n - 5 = 180 \), de unde rezultă \( n = 185 \).
Răspuns: În școală sunt 185 de elevi.
Mulțimea Numerelor Întregi
Ecuația este o egalitate matematică ce conține un element necunoscut (notat de regulă cu \(x, y, z\)).
Soluția este valoarea necunoscutei care face ca egalitatea să fie adevărată. A rezolva o ecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile în mulțimea dată (ex: \(\mathbb{Z}\)).
Două ecuații se numesc echivalente (simbolizate prin \(\Leftrightarrow\)) dacă au exact aceleași soluții.
Reguli de bază pentru rezolvare:
- Termenii pot fi mutați dintr-un membru în celălalt, dar li se schimbă semnul la trecerea peste „=”.
- Ambii membri ai ecuației pot fi înmulțiți sau împărțiți cu același număr nenul.
Forma generală obținută după calcule:
\[ a \cdot x = b \implies x = b : a \]
Ecuația are soluție în \(\mathbb{Z}\) doar dacă \(b\) este divizibil cu \(a\).
Ecuații cu modul:
\[ |x| = a \implies x = a \text{ sau } x = -a \text{ (unde } a \ge 0) \]
Separarea termenilor (necunoscutele într-o parte, termenii liberi în cealaltă).
Efectuarea calculelor în fiecare membru.
Împărțirea la coeficientul necunoscutei pentru a afla soluția.
Rezolvați ecuația în mulțimea numerelor întregi: \( 5x - 8 = 2x + 7 \)
1. Mutăm termenii cu \(x\) în stânga și termenii liberi în dreapta, schimbând semnele:
\[ 5x - 2x = 7 + 8 \]
2. Efectuăm calculele:
\[ 3x = 15 \]
3. Împărțim la 3:
\[ x = 15 : 3 \implies x = 5 \]
Răspuns: Soluția este \(S = \{5\}\).
Inecuația se obține prin înlocuirea semnului „=” dintr-o ecuație cu unul dintre semnele de inegalitate: \( <, >, \le, \ge \).
Etapele de rezolvare și proprietățile inecuațiilor sunt identice cu cele ale ecuațiilor, cu o singură și foarte importantă excepție.
Când înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei inecuații cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă (ex. „\(<\)” devine „\(>\)”).
Exemplu de schimbare a sensului:
\[ -a \cdot x \le b \implies x \ge \frac{b}{-a} \text{ (pentru } a > 0) \]
Rezolvați inecuația: \( -3x + 4 \ge 13 \), unde \(x \in \mathbb{Z}\).
1. Mutăm termenul liber cu semn schimbat:
\[ -3x \ge 13 - 4 \]
\[ -3x \ge 9 \]
2. Împărțim la numărul negativ \(-3\), așadar schimbăm sensul inegalității:
\[ x \le 9 : (-3) \]
\[ x \le -3 \]
Răspuns: Mulțimea soluțiilor este \(S = \{\dots, -5, -4, -3\}\).
Pentru a rezolva matematic o problemă din viața reală, transpunem textul într-un limbaj algebric, creând un model matematic (o ecuație sau inecuație).
Stabilirea necunoscutei: Notăm cu \(x\) (sau altă literă) mărimea pe care trebuie să o aflăm. Exprimăm celelalte date în funcție de \(x\).
Obținerea modelului matematic: Scriem ecuația sau inecuația pe baza relațiilor din enunț.
Rezolvarea: Aplicăm regulile de calcul pentru a afla valoarea lui \(x\).
Interpretarea: Verificăm dacă rezultatul are sens în contextul problemei și respectă mulțimea dată.
- Numere consecutive: se notează cu \(x, x+1, x+2, \dots\)
- Cunoscând suma (\(S\)) și diferența (\(D\)): \( a + b = S \) și \( a - b = D \)
Probleme practice
Ușoară: De opt ori un număr întreg adunat cu 12 este egal cu -20. Aflați numărul.
Notăm numărul cu \(x\).
Modelul matematic: \( 8x + 12 = -20 \)
\( 8x = -20 - 12 \)
\( 8x = -32 \)
\( x = -32 : 8 \implies x = -4 \)
Răspuns: Numărul este -4.
Modelul matematic: \( 8x + 12 = -20 \)
\( 8x = -20 - 12 \)
\( 8x = -32 \)
\( x = -32 : 8 \implies x = -4 \)
Răspuns: Numărul este -4.
Medie: Suma a trei numere întregi consecutive este -12. Care sunt aceste numere?
Fie numerele consecutive: \(x, x+1, x+2\).
Ecuația: \( x + (x + 1) + (x + 2) = -12 \)
\( 3x + 3 = -12 \)
\( 3x = -12 - 3 \)
\( 3x = -15 \implies x = -5 \)
Primul număr este -5. Următoarele sunt \(-5+1 = -4\) și \(-5+2 = -3\).
Răspuns: Numerele sunt -5, -4 și -3.
Ecuația: \( x + (x + 1) + (x + 2) = -12 \)
\( 3x + 3 = -12 \)
\( 3x = -12 - 3 \)
\( 3x = -15 \implies x = -5 \)
Primul număr este -5. Următoarele sunt \(-5+1 = -4\) și \(-5+2 = -3\).
Răspuns: Numerele sunt -5, -4 și -3.
Dificilă: Un elev are un abonament de telefonie cu un cost fix de 30 de lei pe lună și 2 lei pentru fiecare gigabyte (GB) de internet suplimentar consumat. Dacă dorește ca factura lunară să fie de cel mult 50 de lei, care este numărul maxim de GB suplimentari pe care îi poate consuma?
Notăm cu \(x\) numărul de GB suplimentari (\(x \ge 0, x \in \mathbb{Z}\)).
Costul facturii este: \( 30 + 2 \cdot x \).
Condiția problemei impune o inecuație (cel mult înseamnă \(\le\)): \[ 30 + 2x \le 50 \] \[ 2x \le 50 - 30 \] \[ 2x \le 20 \] \[ x \le 10 \]
Răspuns: Elevul poate consuma cel mult 10 GB suplimentari.
Costul facturii este: \( 30 + 2 \cdot x \).
Condiția problemei impune o inecuație (cel mult înseamnă \(\le\)): \[ 30 + 2x \le 50 \] \[ 2x \le 50 - 30 \] \[ 2x \le 20 \] \[ x \le 10 \]
Răspuns: Elevul poate consuma cel mult 10 GB suplimentari.
Triunghiul
Dacă un triunghi este isoscel (are două laturi congruente), atunci unghiurile alăturate bazei sunt congruente.
Reciproc: Dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci triunghiul este isoscel.
Reciproc: Dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci triunghiul este isoscel.
Într-un triunghi isoscel, liniile importante corespunzătoare bazei (bisectoarea unghiului opus bazei, mediatoarea bazei, înălțimea și mediana corespunzătoare bazei) coincid. Această dreaptă comună este și axă de simetrie a triunghiului.
Dacă două dintre liniile importante ale unui triunghi coincid (de exemplu, o mediană este și înălțime), atunci triunghiul este isoscel. De asemenea, dacă mediatoarea unei laturi trece printr-un vârf, triunghiul este isoscel.
Într-un triunghi isoscel, medianele, bisectoarele și înălțimile corespunzătoare laturilor congruente sunt congruente.
Într-un triunghi \( ABC \), înălțimea dusă din vârful \( A \) este și bisectoare. Dacă unghiul \( \measuredangle B = 55^\circ \), determinați măsurile celorlalte două unghiuri ale triunghiului.
Deoarece înălțimea este și bisectoare, triunghiul \( ABC \) este isoscel cu baza \( BC \).
Astfel, unghiurile de la bază sunt congruente: \( \measuredangle C = \measuredangle B = 55^\circ \).
Suma unghiurilor unui triunghi este \( 180^\circ \), așadar \( \measuredangle A = 180^\circ - (55^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
Astfel, unghiurile de la bază sunt congruente: \( \measuredangle C = \measuredangle B = 55^\circ \).
Suma unghiurilor unui triunghi este \( 180^\circ \), așadar \( \measuredangle A = 180^\circ - (55^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
Dacă un triunghi are toate unghiurile congruente, atunci el este echilateral (fiecare unghi are măsura de \( 60^\circ \)).
Regulă importantă: Dacă un triunghi isoscel are un unghi cu măsura de \( 60^\circ \) (indiferent care este acesta), atunci triunghiul este echilateral.
Regulă importantă: Dacă un triunghi isoscel are un unghi cu măsura de \( 60^\circ \) (indiferent care este acesta), atunci triunghiul este echilateral.
Dacă un triunghi este echilateral, atunci bisectoarea oricărui unghi, înălțimea, mediatoarea și mediana corespunzătoare laturii opuse coincid.
Datorită faptului că toate liniile importante coincid, într-un triunghi echilateral centrul cercului înscris, ortocentrul, centrul cercului circumscris și centrul de greutate coincid.
Triunghiul \( ABC \) este isoscel având baza \( BC \). Dacă unghiul exterior cu vârful în \( A \) are măsura de \( 120^\circ \), ce fel de triunghi este \( ABC \)?
Unghiul interior \( A \) este suplementul unghiului exterior: \( \measuredangle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Un triunghi isoscel care are un unghi de \( 60^\circ \) este triunghi echilateral.
Un triunghi isoscel care are un unghi de \( 60^\circ \) este triunghi echilateral.
Teorema medianei: Dacă un triunghi este dreptunghic, atunci lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
Fie \( \triangle ABC \) dreptunghic în \( A \) și \( M \) mijlocul ipotenuzei \( BC \):
\[ AM = \frac{BC}{2} \]
Reciproca teoremei medianei: Dacă într-un triunghi lungimea medianei este jumătate din lungimea laturii pe care cade, atunci triunghiul este dreptunghic.
Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic coincide cu mijlocul ipotenuzei.
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are lungimea de \( 18 \) cm. Aflați lungimea segmentului determinat de vârful unghiului drept și mijlocul ipotenuzei.
Segmentul descris este mediana corespunzătoare ipotenuzei. Conform teoremei medianei, lungimea ei este jumătate din ipotenuză: \( 18 : 2 = 9 \) cm.
Teorema unghiului de 30°: Într-un triunghi dreptunghic, dacă măsura unui unghi ascuțit este de \( 30^\circ \), atunci lungimea catetei care se opune acestui unghi este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
Reciproca: Dacă într-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete reprezintă jumătate din lungimea ipotenuzei, atunci măsura unghiului opus acelei catete este obligatoriu de \( 30^\circ \).
În triunghiul dreptunghic \( ABC \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \)), \( \measuredangle B = 60^\circ \) și ipotenuza \( BC = 24 \) cm. Calculați lungimea catetei \( AC \) și a catetei \( AB \).
Suma unghiurilor ascuțite este \( 90^\circ \), deci \( \measuredangle C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
Cateta care se opune unghiului de \( 30^\circ \) este \( AB \).
Aplicând teorema, \( AB = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) cm.
(Cateta AC se poate afla cu Teorema lui Pitagora).
Cateta care se opune unghiului de \( 30^\circ \) este \( AB \).
Aplicând teorema, \( AB = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) cm.
(Cateta AC se poate afla cu Teorema lui Pitagora).
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
Dacă \( \triangle ABC \) este dreptunghic cu \( \measuredangle A = 90^\circ \), atunci:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \quad \text{sau} \quad a^2 = b^2 + c^2 \]
Numere pitagoreice: Tripletele de numere naturale \( (a, b, c) \) care satisfac relația \( a^2 + b^2 = c^2 \) (ex: \( (3, 4, 5); (5, 12, 13); (8, 15, 17) \)). Multiplii numerelor pitagoreice sunt de asemenea numere pitagoreice.
Într-un triunghi dreptunghic, catetele au lungimile de \( 6 \) cm și \( 8 \) cm. Aflați lungimea ipotenuzei.
Fie \( x \) lungimea ipotenuzei. Conform Teoremei lui Pitagora:
\( x^2 = 6^2 + 8^2 \)
\( x^2 = 36 + 64 = 100 \implies x = \sqrt{100} = 10 \) cm.
\( x^2 = 6^2 + 8^2 \)
\( x^2 = 36 + 64 = 100 \implies x = \sqrt{100} = 10 \) cm.
Probleme practice
Ușoară: Un triunghi are laturile de \( 15 \) cm, \( 15 \) cm și \( 20 \) cm. Cum se numește acest triunghi în funcție de lungimea laturilor și ce proprietate au unghiurile de la baza sa?
Deoarece are două laturi congruente (\( 15 \) cm = \( 15 \) cm), triunghiul este isoscel. Principala sa proprietate legată de unghiuri este că unghiurile alăturate bazei (latura de \( 20 \) cm) sunt congruente.
Medie: Fie triunghiul dreptunghic \( ABC \) cu ipotenuza \( BC = 20 \) cm și măsura unghiului \( \measuredangle C = 30^\circ \). Aflați lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei și lungimea catetei \( AB \).
- Conform teoremei medianei, mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu jumătate din ipotenuză: \( AM = \frac{BC}{2} = 10 \) cm.
- Conform teoremei unghiului de 30°, cateta opusă acestui unghi (\( AB \)) este jumătate din ipotenuză: \( AB = \frac{20}{2} = 10 \) cm.
- Conform teoremei unghiului de 30°, cateta opusă acestui unghi (\( AB \)) este jumătate din ipotenuză: \( AB = \frac{20}{2} = 10 \) cm.
Dificilă: Într-un triunghi isoscel \( ABC \) cu baza \( BC \), se știe că perimetrul este \( 36 \) cm, iar laturile congruente sunt \( AB = AC = 13 \) cm. Înălțimea \( AD \) (cu \( D \in BC \)) împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghice. Folosind teorema lui Pitagora, calculați lungimea înălțimii \( AD \).
Aflăm lungimea bazei: \( BC = \text{Perimetru} - AB - AC = 36 - 13 - 13 = 10 \) cm.
Deoarece \( \triangle ABC \) este isoscel, înălțimea \( AD \) este și mediană. Prin urmare, punctul \( D \) este mijlocul bazei \( BC \), așadar \( BD = BC : 2 = 5 \) cm.
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \( ABD \) (\( \measuredangle D = 90^\circ \)):
\( AB^2 = AD^2 + BD^2 \)
\( 13^2 = AD^2 + 5^2 \implies 169 = AD^2 + 25 \implies AD^2 = 144 \implies AD = 12 \) cm.
Deoarece \( \triangle ABC \) este isoscel, înălțimea \( AD \) este și mediană. Prin urmare, punctul \( D \) este mijlocul bazei \( BC \), așadar \( BD = BC : 2 = 5 \) cm.
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \( ABD \) (\( \measuredangle D = 90^\circ \)):
\( AB^2 = AD^2 + BD^2 \)
\( 13^2 = AD^2 + 5^2 \implies 169 = AD^2 + 25 \implies AD^2 = 144 \implies AD = 12 \) cm.
