Cele mai importante aspecte ale lecției
- Unghiul la centru are vârful în centrul cercului, iar laturile sale sunt raze.
- Arc mic: Măsura sa este direct egală cu unghiul la centru (\( \overset{\frown}{AB} = \sphericalangle AOB \)).
- Arc mare: Se calculează scăzând arcul mic din întregul cerc (\( 360^\circ - \sphericalangle AOB \)).
- Valori fixe importante: Cercul complet are \( 360^\circ \), iar semicercul are \( 180^\circ \).
Un unghi care are vârful în centrul unui cerc se numește unghi la centru.
Când măsurăm unghiurile la centru, de fapt măsurăm arcele de cerc cuprinse între laturile acestora. Pentru a nota arcul de cerc determinat de punctele \( A \) și \( B \), folosim simbolul \( \overset{\frown}{AB} \).
Prin notația \( \overset{\frown}{AB} \) putem înțelege figura geometrică (arcul de cerc \( AB \)) sau măsura acestuia în grade, în funcție de contextul problemei.
Măsura arcului mic de cerc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător.
\[ \overset{\frown}{AB} = \sphericalangle AOB \]
Măsura unui cerc (cerc complet) este egală cu \( 360^\circ \).
Măsura unui semicerc (jumătate de cerc) este egală cu jumătate din măsura cercului: \( 180^\circ \).
Măsura arcului mare de cerc este egală cu diferența dintre \( 360^\circ \) și măsura arcului mic de cerc corespunzător (sau a unghiului la centru).
\[ \text{Arc mare } \overset{\frown}{AB} = 360^\circ - \sphericalangle AOB \]
Două arce de cerc care au aceeași măsură se numesc arce congruente.
Dacă avem un unghi la centru \( \sphericalangle COD = 60^\circ \), atunci:
• Măsura arcului mic \( \overset{\frown}{CD} \) este \( 60^\circ \).
• Măsura arcului mare \( \overset{\frown}{CD} \) este \( 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ \).
• Măsura arcului mic \( \overset{\frown}{CD} \) este \( 60^\circ \).
• Măsura arcului mare \( \overset{\frown}{CD} \) este \( 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ \).
Probleme de practică
Dificultate ușoară: Într-un cerc cu centrul \( O \), unghiul \( \sphericalangle AOB \) are măsura de \( 80^\circ \). Determinați măsura arcului mic \( \overset{\frown}{AB} \) și măsura arcului mare \( \overset{\frown}{AB} \).
Pas 1: Măsura arcului mic \( \overset{\frown}{AB} \) este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător. Deci, arcul mic \( \overset{\frown}{AB} = 80^\circ \).
Pas 2: Măsura arcului mare \( \overset{\frown}{AB} \) se calculează scăzând măsura arcului mic din totalul de \( 360^\circ \).
Arc mare \( \overset{\frown}{AB} = 360^\circ - 80^\circ = 280^\circ \).
Pas 2: Măsura arcului mare \( \overset{\frown}{AB} \) se calculează scăzând măsura arcului mic din totalul de \( 360^\circ \).
Arc mare \( \overset{\frown}{AB} = 360^\circ - 80^\circ = 280^\circ \).
Dificultate medie: Punctele \( A \) și \( B \) se află pe un cerc cu centrul în \( O \). Știind că măsura arcului \( \overset{\frown}{AB} \) reprezintă 60% din măsura unui semicerc, calculați măsura unghiului \( \sphericalangle AOB \).
Pas 1: Știm că măsura unui semicerc este de \( 180^\circ \).
Pas 2: Calculăm 60% din \( 180^\circ \): \[ \overset{\frown}{AB} = \frac{60}{100} \cdot 180^\circ = 6 \cdot 18^\circ = 108^\circ \] Pas 3: Deoarece \( \sphericalangle AOB \) este unghi la centru, măsura sa este egală cu măsura arcului subîntins. Deci, \( \sphericalangle AOB = 108^\circ \).
Pas 2: Calculăm 60% din \( 180^\circ \): \[ \overset{\frown}{AB} = \frac{60}{100} \cdot 180^\circ = 6 \cdot 18^\circ = 108^\circ \] Pas 3: Deoarece \( \sphericalangle AOB \) este unghi la centru, măsura sa este egală cu măsura arcului subîntins. Deci, \( \sphericalangle AOB = 108^\circ \).
Dificultate grea: Se consideră șase puncte \( A, B, C, D, E, F \) (luate în această ordine) care împart un cerc cu centrul în punctul \( O \) în șase arce congruente. Calculați măsura unghiului \( \sphericalangle BOD \) și demonstrați că punctele \( A, O \) și \( D \) sunt coliniare.
Pas 1: Măsura unui cerc întreg este \( 360^\circ \). Deoarece cele 6 arce sunt congruente, măsura fiecăruia este:
\[ \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} = \dots = 360^\circ : 6 = 60^\circ \]
Pas 2: Unghiul \( \sphericalangle BOD \) cuprinde arcele \( \overset{\frown}{BC} \) și \( \overset{\frown}{CD} \).
\( \sphericalangle BOD = \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \).
Pas 3: Pentru a demonstra coliniaritatea, calculăm măsura unghiului \( \sphericalangle AOD \), care este format din \( \sphericalangle AOB \) și \( \sphericalangle BOD \).
Știm că \( \sphericalangle AOB = \overset{\frown}{AB} = 60^\circ \).
\( \sphericalangle AOD = \sphericalangle AOB + \sphericalangle BOD = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ \).
Deoarece unghiul \( \sphericalangle AOD \) este alungit (\( 180^\circ \)), semidreptele \( OA \) și \( OD \) sunt opuse, ceea ce înseamnă că punctele \( A, O \) și \( D \) sunt coliniare.
\( \sphericalangle BOD = \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \).
Pas 3: Pentru a demonstra coliniaritatea, calculăm măsura unghiului \( \sphericalangle AOD \), care este format din \( \sphericalangle AOB \) și \( \sphericalangle BOD \).
Știm că \( \sphericalangle AOB = \overset{\frown}{AB} = 60^\circ \).
\( \sphericalangle AOD = \sphericalangle AOB + \sphericalangle BOD = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ \).
Deoarece unghiul \( \sphericalangle AOD \) este alungit (\( 180^\circ \)), semidreptele \( OA \) și \( OD \) sunt opuse, ceea ce înseamnă că punctele \( A, O \) și \( D \) sunt coliniare.
