Cele mai importante aspecte ale lecției
Raport numeric: Raportul a două numere \( a \) și \( b \) (\( b \neq 0 \)) se notează \( \frac{a}{b} \). Rezultatul împărțirii este valoarea raportului.
1. Rapoarte cu mărimi de același fel (rezultatul este un număr pur, o valoare):
1. Rapoarte cu mărimi de același fel (rezultatul este un număr pur, o valoare):
- Concentrația: Masa substanței / Masa soluției
- Scara hărții: Distanță hartă / Distanță teren (în aceeași unitate)
- Titlul aliajului: Masa metalului nobil / Masa totală aliaj
- Viteza: Distanță / Timp (\( v = \frac{d}{t} \))
- Densitatea: Masă / Volum (\( \rho = \frac{m}{V} \))
Numărul \( a : b \), notat \( \frac{a}{b} \), unde \( a \) și \( b \) sunt două numere, iar \( b \neq 0 \), se numește raportul numeric dintre numărul \( a \) și numărul \( b \).
Termenii raportului sunt \( a \) și \( b \). Rezultatul calculului \( a : b \) se numește valoarea raportului.
Raportul numeric de forma \( \frac{p}{100} \) se numește raport procentual. Acesta se notează cu \( p\% \) și se citește „p la sută” sau „p procente”.
Dacă \( a = 12 \) și \( b = 4 \), raportul este \( \frac{12}{4} \), iar valoarea raportului este \( 12 : 4 = 3 \).
Raportul a două mărimi fizice de același fel este întotdeauna un raport numeric (nu are unitate de măsură). Se folosesc aceleași unități de măsură pentru a le putea compara.
1. Concentrația unei soluții (\( c \))
Este raportul dintre masa substanței dizolvate și masa totală a soluției. \[ c = \frac{m_{\text{substanță}}}{m_{\text{soluție}}} \]
Este raportul dintre masa substanței dizolvate și masa totală a soluției. \[ c = \frac{m_{\text{substanță}}}{m_{\text{soluție}}} \]
2. Scara unei hărți / unui desen
Este raportul dintre distanța măsurată pe hartă și distanța măsurată în realitate (în teren). Ambele distanțe trebuie exprimate în aceeași unitate de măsură. \[ \text{Scara} = \frac{\text{distanță hartă}}{\text{distanță teren}} \]
Este raportul dintre distanța măsurată pe hartă și distanța măsurată în realitate (în teren). Ambele distanțe trebuie exprimate în aceeași unitate de măsură. \[ \text{Scara} = \frac{\text{distanță hartă}}{\text{distanță teren}} \]
3. Titlul unui aliaj (\( T \))
Este raportul dintre masa metalului nobil (\( m \)) dintr-un aliaj și masa totală a aliajului (\( M \)). \[ T = \frac{m}{M} \]
Este raportul dintre masa metalului nobil (\( m \)) dintr-un aliaj și masa totală a aliajului (\( M \)). \[ T = \frac{m}{M} \]
Dacă într-un vas se află o soluție având masa de \( 240 \text{ g} \), iar masa sării din ea este de \( 40 \text{ g} \), calculați concentrația soluției.
Aplicăm formula concentrației: \( c = \frac{40 \text{ g}}{240 \text{ g}} \).
Simplificând fracția obținem valoarea raportului: \( c = \frac{1}{6} \).
Simplificând fracția obținem valoarea raportului: \( c = \frac{1}{6} \).
Când raportăm mărimi fizice diferite, rezultatul conduce la definirea unei noi mărimi fizice, care va avea o unitate de măsură proprie.
1. Viteza (\( v \))
Este raportul dintre distanța parcursă (\( d \)) și timpul necesar parcurgerii ei (\( t \)). \[ v = \frac{d}{t} \]
Este raportul dintre distanța parcursă (\( d \)) și timpul necesar parcurgerii ei (\( t \)). \[ v = \frac{d}{t} \]
Unitatea fundamentală de măsură pentru viteză este metrul pe secundă (\( \text{m/s} \)). O altă unitate des folosită este \( \text{km/h} \).
2. Densitatea de masă (\( \rho \))
Este raportul dintre masa unui corp (\( m \)) și volumul acelui corp (\( V \)). \[ \rho = \frac{m}{V} \]
Este raportul dintre masa unui corp (\( m \)) și volumul acelui corp (\( V \)). \[ \rho = \frac{m}{V} \]
Se măsoară în kilograme pe metru cub (\( \text{kg/m}^3 \)).
O persoană parcurge \( 8 \text{ km} \) în \( 2 \text{ ore} \). Care este viteza sa?
Raportul este \( \frac{8 \text{ km}}{2 \text{ h}} = \frac{8}{2} \text{ km/h} = 4 \text{ km/h} \).
Persoana s-a deplasat cu viteza de \( 4 \text{ km/h} \).
Persoana s-a deplasat cu viteza de \( 4 \text{ km/h} \).
Dacă valoarea raportului dintre două mărimi este constantă în mai multe situații date, spunem că rapoartele respective sunt egale. Această egalitate de rapoarte se numește proporție.
Dacă \( 4 \text{ kg} \) de mere costă \( 8 \text{ lei} \), iar \( 5 \text{ kg} \) costă \( 10 \text{ lei} \), valoarea rapoartelor preț/cantitate este aceeași:
\[ \frac{8 \text{ lei}}{4 \text{ kg}} = 2 \text{ lei/kg} \quad \text{și} \quad \frac{10 \text{ lei}}{5 \text{ kg}} = 2 \text{ lei/kg} \]
Putem scrie proporția: \( \frac{8}{4} = \frac{10}{5} \).
Exerciții
Ușoară: Calculați valoarea raportului \( \frac{a}{b} \) pentru \( a = 24 \text{ m} \) și \( b = 12 \text{ km} \).
Atenție! Mărimile sunt de același fel (lungimi), deci trebuie exprimate în aceeași unitate de măsură.
Transformăm: \( 12 \text{ km} = 12000 \text{ m} \).
Raportul este: \( \frac{24 \text{ m}}{12000 \text{ m}} = \frac{24}{12000} \).
Simplificăm prin 24: Valoarea raportului este \( \frac{1}{500} \).
Transformăm: \( 12 \text{ km} = 12000 \text{ m} \).
Raportul este: \( \frac{24 \text{ m}}{12000 \text{ m}} = \frac{24}{12000} \).
Simplificăm prin 24: Valoarea raportului este \( \frac{1}{500} \).
Medie: O bijuterie este realizată dintr-un aliaj de aur și cupru. Aliajul cântărește \( 6 \text{ g} \), iar pentru confecționarea ei s-au folosit \( 5,4 \text{ g} \) de aur. Care este titlul aliajului?
Formula titlului este \( T = \frac{m}{M} \), unde \( m \) este masa aurului, iar \( M \) este masa totală.
\( T = \frac{5,4}{6} \).
Amplificăm cu 10 pentru a elimina virgula: \( T = \frac{54}{60} \).
Simplificăm prin 6: \( T = \frac{9}{10} = 0,9 \).
Răspuns: Titlul aliajului este \( 0,9 \).
\( T = \frac{5,4}{6} \).
Amplificăm cu 10 pentru a elimina virgula: \( T = \frac{54}{60} \).
Simplificăm prin 6: \( T = \frac{9}{10} = 0,9 \).
Răspuns: Titlul aliajului este \( 0,9 \).
Dificilă: Se amestecă \( 25 \text{ g} \) de sare cu \( 75 \text{ g} \) de apă pentru a forma o soluție. Calculați concentrația procentuală a soluției.
Formula concentrației este: \( c = \frac{m_{\text{substanță}}}{m_{\text{soluție}}} \).
Pasul 1: Aflăm masa soluției. Soluția este formată din sare + apă.
\( m_{\text{soluție}} = 25 \text{ g} + 75 \text{ g} = 100 \text{ g} \).
Pasul 2: Calculăm raportul.
\( c = \frac{25 \text{ g}}{100 \text{ g}} = \frac{25}{100} \).
Fiind un raport supra 100, îl putem scrie sub formă de procent.
Răspuns: Concentrația soluției este de \( 25\% \).
Pasul 1: Aflăm masa soluției. Soluția este formată din sare + apă.
\( m_{\text{soluție}} = 25 \text{ g} + 75 \text{ g} = 100 \text{ g} \).
Pasul 2: Calculăm raportul.
\( c = \frac{25 \text{ g}}{100 \text{ g}} = \frac{25}{100} \).
Fiind un raport supra 100, îl putem scrie sub formă de procent.
Răspuns: Concentrația soluției este de \( 25\% \).
