Cele mai importante aspecte ale lecției
Numărul rațional are forma \( \frac{m}{n} \) (\( m, n \in \mathbb{Z} \), \( n \neq 0 \)). Mulțimea se notează cu \( \mathbb{Q} \).
Regula de egalitate: \( \frac{m}{n} = \frac{p}{q} \iff m \cdot q = n \cdot p \).
Semnul: Poziția minusului nu schimbă valoarea: \( \frac{-m}{n} = \frac{m}{-n} = -\frac{m}{n} \).
Relația dintre mulțimi: \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \) (tot ce este natural este și întreg, tot ce este întreg este și rațional). Un număr întreg \( m \) are forma rațională \( \frac{m}{1} \).
Regula de egalitate: \( \frac{m}{n} = \frac{p}{q} \iff m \cdot q = n \cdot p \).
Semnul: Poziția minusului nu schimbă valoarea: \( \frac{-m}{n} = \frac{m}{-n} = -\frac{m}{n} \).
Relația dintre mulțimi: \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \) (tot ce este natural este și întreg, tot ce este întreg este și rațional). Un număr întreg \( m \) are forma rațională \( \frac{m}{1} \).
Un număr rațional este o pereche de numere întregi \( m \) și \( n \), cu condiția ca \( n \neq 0 \), scrisă sub forma unei fracții ordinare \( \frac{m}{n} \).
Mulțimea numerelor raționale se notează cu \( \mathbb{Q} \).
Numitorul unei fracții (numărul de jos, \( n \)) nu poate fi niciodată egal cu zero!
- \( \frac{+3}{-2} \) este număr rațional (numărătorul și numitorul sunt numere întregi, iar \( -2 \neq 0 \)).
- \( \frac{-1}{0} \) nu este număr rațional, deoarece numitorul este zero.
Două numere raționale sunt egale prin definiție dacă produsul mezilor este egal cu produsul extremilor (înmulțirea pe diagonală).
\[ \frac{m}{n} = \frac{p}{q} \iff m \cdot q = n \cdot p \]
Condiție: \( n \neq 0 \) și \( q \neq 0 \).
\( \frac{2}{4} = \frac{6}{12} \), deoarece \( 2 \cdot 12 = 4 \cdot 6 \) (adică \( 24 = 24 \)).
\( \frac{-3}{2} = \frac{3}{-2} \), deoarece \( (-3) \cdot (-2) = 2 \cdot 3 \) (adică \( 6 = 6 \)).
\( \frac{-3}{2} = \frac{3}{-2} \), deoarece \( (-3) \cdot (-2) = 2 \cdot 3 \) (adică \( 6 = 6 \)).
Semnul minus poate fi plasat la numărător, la numitor sau în fața fracției, valoarea numărului rațional rămânând aceeași.
\[ \frac{-m}{n} = \frac{m}{-n} = -\frac{m}{n} \]
Condiție: \( n \neq 0 \).
Orice număr rațional se poate reprezenta sub formă de fracție ordinară ireductibilă de forma \( \frac{m}{n} \) sau \( -\frac{m}{n} \), dar și sub formă de fracție zecimală (finită sau periodică), obținută prin împărțirea numărătorului la numitor.
Fracțiile \( \frac{-5}{7} \), \( \frac{5}{-7} \) și \( -\frac{5}{7} \) reprezintă exact același număr rațional.
Orice număr întreg \( m \) poate fi scris ca o fracție cu numitorul 1, ceea ce înseamnă că orice număr întreg este și un număr rațional.
\[ m = \frac{m}{1} \]
Orice număr natural este număr întreg, iar orice număr întreg este număr rațional. Această relație de incluziune se scrie astfel:
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \]
Numărul \( 5 \) (natural și întreg) se poate scrie ca \( \frac{5}{1} \), deci aparține mulțimii \( \mathbb{Q} \).
Numărul \( -8 \) (întreg negativ) se poate scrie ca \( \frac{-8}{1} \), deci aparține mulțimii \( \mathbb{Q} \).
Numărul \( -8 \) (întreg negativ) se poate scrie ca \( \frac{-8}{1} \), deci aparține mulțimii \( \mathbb{Q} \).
Dacă avem numerele naturale nenule \( m \) și \( n \) (adică \( m, n \in \mathbb{N} \), \( m \neq 0, n \neq 0 \)):
- Numerele de forma \( \frac{m}{n} \) se numesc numere raționale pozitive.
- Numerele de forma \( -\frac{m}{n} \) se numesc numere raționale negative.
Exerciții practice
Ușoară: Precizați care dintre următoarele scrieri reprezintă un număr rațional și care nu: \( \frac{7}{-4} \), \( \frac{0}{5} \), \( \frac{-9}{0} \).
- \( \frac{7}{-4} \) este număr rațional (numitorul \( -4 \neq 0 \)).
- \( \frac{0}{5} \) este număr rațional (numitorul \( 5 \neq 0 \); valoarea fracției este 0).
- \( \frac{-9}{0} \) nu este număr rațional, deoarece împărțirea la zero nu are sens (numitorul este 0).
Medie: Verificați, folosind definiția egalității, dacă numerele raționale \( \frac{-4}{5} \) și \( \frac{12}{-15} \) sunt egale.
Conform definiției, \( \frac{m}{n} = \frac{p}{q} \iff m \cdot q = n \cdot p \).
Calculăm produsele pe diagonală:
\( (-4) \cdot (-15) = 60 \)
\( 5 \cdot 12 = 60 \)
Deoarece \( 60 = 60 \), cele două numere raționale sunt egale.
Calculăm produsele pe diagonală:
\( (-4) \cdot (-15) = 60 \)
\( 5 \cdot 12 = 60 \)
Deoarece \( 60 = 60 \), cele două numere raționale sunt egale.
Dificilă: Știind că orice număr întreg aparține mulțimii \( \mathbb{Q} \), scrieți numărul întreg \( -3 \) sub forma a trei fracții ordinare diferite.
Orice număr întreg \( m \) se scrie sub forma \( \frac{m}{1} \).
Deci, prima formă este: \( \frac{-3}{1} \).
Pentru a găsi alte fracții egale, putem amplifica această fracție cu diferite numere întregi nenule.
Amplificăm cu 2: \( \frac{-3 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{-6}{2} \).
Amplificăm cu -4: \( \frac{-3 \cdot (-4)}{1 \cdot (-4)} = \frac{12}{-4} \).
Răspuns: Trei reprezentări posibile sunt: \( \frac{-3}{1} \), \( \frac{-6}{2} \), \( \frac{12}{-4} \).
Deci, prima formă este: \( \frac{-3}{1} \).
Pentru a găsi alte fracții egale, putem amplifica această fracție cu diferite numere întregi nenule.
Amplificăm cu 2: \( \frac{-3 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{-6}{2} \).
Amplificăm cu -4: \( \frac{-3 \cdot (-4)}{1 \cdot (-4)} = \frac{12}{-4} \).
Răspuns: Trei reprezentări posibile sunt: \( \frac{-3}{1} \), \( \frac{-6}{2} \), \( \frac{12}{-4} \).
