III.2.2. Exersează, Fixează Și Aprofundează Cunoștințele

Pasul 1: Rezolvarea inecuației de bază

Pentru a verifica dacă numerele date sunt soluții, vom rezolva mai întâi inecuația generală \( -3x + 1 \le -8 \) în mulțimea numerelor întregi (\( \mathbb{Z} \)). Mai întâi, izolăm termenul cu necunoscuta prin mutarea lui \( +1 \) în membrul drept cu semn schimbat: \[ -3x \le -8 - 1 \] \[ -3x \le -9 \] Acum, vom împărți ambii membri la coeficientul lui \( x \), care este \( -3 \). Deoarece împărțim la un număr negativ, sensul inegalității se schimbă de la \( \le \) la \( \ge \): \[ x \ge (-9) : (-3) \] \[ x \ge 3 \] Așadar, soluțiile inecuației în \( \mathbb{Z} \) sunt toate numerele întregi mai mari sau egale cu \( 3 \), adică \( \{3, 4, 5, \dots\} \).

Pasul 2: Rezolvarea subpunctului a)

a) \( -3x + 1 \le -8 \), \( x \in \{-4, 2, 4\} \)

Trebuie să verificăm care dintre numerele \( -4 \), \( 2 \) și \( 4 \) satisfac condiția \( x \ge 3 \): - Pentru \( x = -4 \): \( -4 \ge 3 \) este Fals. - Pentru \( x = 2 \): \( 2 \ge 3 \) este Fals. - Pentru \( x = 4 \): \( 4 \ge 3 \) este Adevărat. Dintre numerele propuse, doar 4 este soluție.

Pasul 3: Rezolvarea subpunctului b)

b) \( -3x + 1 \le -8 \), \( x \in \mathbb{N} \)

Căutăm numerele naturale care sunt mai mari sau egale cu \( 3 \). Mulțimea soluțiilor este \( S = \{3, 4, 5, \dots\} \). Verificăm numerele date: - \( -4 \notin \mathbb{N} \), deci nu poate fi soluție. - \( 2 \in \mathbb{N} \), dar \( 2 < 3 \), deci nu este soluție. - \( 4 \in \mathbb{N} \) și \( 4 \ge 3 \), deci 4 este soluție.

Pasul 4: Rezolvarea subpunctului c)

c) \( -3x + 1 \le -8 \), \( x \in \mathbb{Z}_- \)

Căutăm numerele întregi negative care sunt mai mari sau egale cu \( 3 \). Deoarece toate numerele din \( \mathbb{Z}_- \) sunt mai mici decât \( 0 \), iar noi avem nevoie de numere \( \ge 3 \), rezultă că nu există niciun număr întreg negativ care să fie soluție. Prin urmare, niciunul dintre numerele \( -4 \), \( 2 \) sau \( 4 \) nu este soluție în acest caz (unde \( -4 \) este singurul număr din mulțimea de bază, dar nu îndeplinește inegalitatea).

\( -3x + 1 \le -8 \implies -3x \le -9 \implies x \ge 3 \) a) \( x \in \{-4, 2, 4\} \): \( -4 < 3 \) (Nu), \( 2 < 3 \) (Nu), \( 4 \ge 3 \) (Da). Soluție: \( 4 \). b) \( x \in \mathbb{N} \): \( -4 \notin \mathbb{N} \), \( 2 < 3 \) (Nu), \( 4 \ge 3 \) (Da). Soluție: \( 4 \). c) \( x \in \mathbb{Z}_- \): \( x \ge 3 \cap x < 0 = \emptyset \). Niciun număr nu este soluție.