Cele mai importante aspecte ale lecției
Despre Mulțimi: Pot fi finite sau infinite. Relațiile esențiale sunt apartenența (\( \in \)), incluziunea (\( \subset \)) și egalitatea (\( = \)). Operațiile de bază produc mulțimi noi: reuniunea (\( \cup \) - toate elementele), intersecția (\( \cap \) - doar elementele comune) și diferența (\( \setminus \) - specifice primei mulțimi).
Despre Divizibilitate: Relația \( a \vdots b \) înseamnă împărțire fără rest. Orice număr compus se descompune unic în factori primi.
CMMDC & CMMMC: Se calculează folosind descompunerea. CMMDC reține factorii comuni la puterea minimă, iar CMMMC factorii comuni și necomuni la puterea maximă. Legătura lor: \( (a,b) \cdot [a,b] = a \cdot b \). Dacă \( (a,b)=1 \), numerele sunt prime între ele.
Despre Divizibilitate: Relația \( a \vdots b \) înseamnă împărțire fără rest. Orice număr compus se descompune unic în factori primi.
CMMDC & CMMMC: Se calculează folosind descompunerea. CMMDC reține factorii comuni la puterea minimă, iar CMMMC factorii comuni și necomuni la puterea maximă. Legătura lor: \( (a,b) \cdot [a,b] = a \cdot b \). Dacă \( (a,b)=1 \), numerele sunt prime între ele.
Mulțimea este o colecție de obiecte bine determinate și distincte, numite elementele mulțimii.
Pentru „aparține” se folosește simbolul \( \in \), iar pentru „nu aparține” se folosește simbolul \( \notin \).
Mulțimea fără niciun element se numește mulțime vidă și se notează cu \( \emptyset \).
Numărul de elemente ale unei mulțimi se numește cardinalul mulțimii (notat \( \text{card } A \)). O mulțime poate fi finită (număr limitat de elemente) sau infinită (o infinitate de elemente).
O mulțime se poate reprezenta prin:
- Enumerarea elementelor: ex. \( A = \{0, 1, 2, 3\} \)
- Diagramă Venn-Euler: o curbă închisă în care se scriu elementele.
- Proprietate caracteristică: ex. \( A = \{x \mid x \in \mathbb{N} \text{ și } x \le 3\} \)
Mulțimea numerelor naturale se notează cu \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \). Fără zero, se notează \( \mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \dots\} \).
Fie mulțimea \( M = \{x \mid x \text{ este cifră pară}\} \). Scrieți mulțimea prin enumerarea elementelor și determinați cardinalul ei.
Cifrele pare sunt 0, 2, 4, 6 și 8.
Prin urmare, \( M = \{0, 2, 4, 6, 8\} \).
\( \text{card } M = 5 \).
Prin urmare, \( M = \{0, 2, 4, 6, 8\} \).
\( \text{card } M = 5 \).
Mulțimi egale (\( A = B \)): Două mulțimi care au exact aceleași elemente.
Incluziunea (\( A \subset B \)): Mulțimea \( A \) este inclusă în mulțimea \( B \) (sau \( A \) este submulțime a lui \( B \)) dacă toate elementele lui \( A \) aparțin și lui \( B \).
Dacă \( A \) nu este inclusă în \( B \), notăm \( A \not\subset B \). Dacă \( B \) include pe \( A \), notăm \( B \supset A \).
Proprietăți ale incluziunii:
- \( \emptyset \subset A \) (Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi).
- \( A \subset A \) (Orice mulțime este inclusă în ea însăși).
- Dacă \( A \subset B \) și \( B \subset A \), atunci \( A = B \).
Reuniunea (\( A \cup B \)): Elementele care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimi.
\[ x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \text{ sau } x \in B \]
Intersecția (\( A \cap B \)): Elementele comune celor două mulțimi.
\[ x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \text{ și } x \in B \]
Dacă \( A \cap B = \emptyset \), mulțimile se numesc disjuncte.
Diferența (\( A \setminus B \)): Elementele care aparțin lui \( A \) și nu aparțin lui \( B \).
\[ x \in A \setminus B \Leftrightarrow x \in A \text{ și } x \notin B \]
Relația cardinalelor:
\[ \text{card}(A \cup B) = \text{card } A + \text{card } B - \text{card}(A \cap B) \]
Fie \( A = \{1, 2, 3\} \) și \( B = \{3, 4, 5\} \). Calculați \( A \cup B \), \( A \cap B \) și \( A \setminus B \).
\( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
\( A \cap B = \{3\} \)
\( A \setminus B = \{1, 2\} \)
\( A \cap B = \{3\} \)
\( A \setminus B = \{1, 2\} \)
Numărul natural \( a \) este divizibil cu numărul natural nenul \( b \) dacă există un număr natural \( c \) astfel încât \( a = b \cdot c \).
Notăm \( a \vdots b \) („a este divizibil cu b”) sau \( b \mid a \) („b divide a”).
\( a \) este multiplu (mulțime infinită de multipli), iar \( b \) este divizor (mulțime finită de divizori).
\( a \) este multiplu (mulțime infinită de multipli), iar \( b \) este divizor (mulțime finită de divizori).
Proprietăți ale divizibilității:
- \( 1 \mid a \) și \( a \mid a \) pentru orice \( a \in \mathbb{N} \).
- Tranzitivitatea: Dacă \( a \mid b \) și \( b \mid c \Rightarrow a \mid c \).
- Dacă un număr divide doi termeni, divide și suma/diferența lor: \( a \mid b \) și \( a \mid c \Rightarrow a \mid (b + c) \) și \( a \mid (b - c) \).
- Dacă un număr divide un factor al unui produs, divide întregul produs: \( a \mid b \Rightarrow a \mid (b \cdot c) \).
Criterii derivate de divizibilitate:
Un număr este divizibil cu:
- 6: dacă se divide cu 2 și cu 3.
- 12: dacă se divide cu 3 și cu 4.
- 15: dacă se divide cu 3 și cu 5.
- 18: dacă se divide cu 2 și cu 9.
Orice număr compus poate fi scris ca un produs de puteri de numere prime. Acest proces se numește descompunerea în factori primi.
Se împarte succesiv numărul la numere prime (2, 3, 5, 7, 11...), începând cu cel mai mic, până când câtul devine 1.
\( 72 : 2 = 36 \)
\( 36 : 2 = 18 \)
\( 18 : 2 = 9 \)
\( 9 : 3 = 3 \)
\( 3 : 3 = 1 \)
Rezultă: \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \).
\( 36 : 2 = 18 \)
\( 18 : 2 = 9 \)
\( 9 : 3 = 3 \)
\( 3 : 3 = 1 \)
Rezultă: \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \).
Cum demonstrăm că un număr este prim? Se verifică divizibilitatea cu numerele prime succesive prin împărțire. Dacă obținem un cât mai mic decât împărțitorul, iar restul este mereu nenul, numărul este prim (ex. pentru 311).
Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.), notat \( (a, b) \), este produsul factorilor primi comuni, luați o singură dată, la puterea cea mai mică.
Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.), notat \( [a, b] \), este produsul factorilor primi comuni și necomuni, luați o singură dată, la puterea cea mai mare.
Dacă \( (a, b) = 1 \), numerele se numesc numere prime între ele (au ca singur divizor comun pe 1).
Relația fundamentală între produsul a două numere naturale, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.:
\[ a \cdot b = (a, b) \cdot [a, b] \]
Pentru 72 (\( 2^3 \cdot 3^2 \)) și 240 (\( 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \)):
\( (72, 240) = 2^3 \cdot 3 = 24 \)
\( [72, 240] = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720 \)
\( (72, 240) = 2^3 \cdot 3 = 24 \)
\( [72, 240] = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720 \)
Probleme practice
Ușoară: Se dau mulțimile \( A = \{2, 4, 6, 8\} \) și \( B = \{6, 8, 10\} \). Determinați \( A \cup B \), \( A \cap B \), \( A \setminus B \) și \( B \setminus A \).
\( A \cup B = \{2, 4, 6, 8, 10\} \) (reunim toate elementele)
\( A \cap B = \{6, 8\} \) (elementele comune)
\( A \setminus B = \{2, 4\} \) (elementele din A care nu sunt în B)
\( B \setminus A = \{10\} \) (elementele din B care nu sunt în A)
\( A \cap B = \{6, 8\} \) (elementele comune)
\( A \setminus B = \{2, 4\} \) (elementele din A care nu sunt în B)
\( B \setminus A = \{10\} \) (elementele din B care nu sunt în A)
Medie: Știind că produsul a două numere naturale \( a \) și \( b \) este 144, iar cel mai mare divizor comun al lor, \( (a, b) \), este 3, aflați cel mai mic multiplu comun al acestora, \( [a, b] \).
Folosim formula fundamentală: \( a \cdot b = (a, b) \cdot [a, b] \).
Înlocuim datele cunoscute: \( 144 = 3 \cdot [a, b] \).
\( [a, b] = 144 : 3 = 48 \).
Răspuns: C.m.m.m.c. este 48.
Înlocuim datele cunoscute: \( 144 = 3 \cdot [a, b] \).
\( [a, b] = 144 : 3 = 48 \).
Răspuns: C.m.m.m.c. este 48.
Dificilă: Într-o școală, elevii pot fi așezați în rânduri de câte 12, 15 sau 18, și de fiecare dată rămân 5 elevi în afara formației. Aflați numărul elevilor din școală, știind că acesta este cel mai mic număr natural care îndeplinește aceste condiții.
Fie \( n \) numărul de elevi. Din datele problemei rezultă că \( n - 5 \) se împarte exact la 12, 15 și 18.
Prin urmare, \( n - 5 \) este multiplu comun al numerelor 12, 15 și 18. Deoarece căutăm cel mai mic \( n \), trebuie să calculăm c.m.m.m.c. al numerelor:
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
\( 18 = 2 \cdot 3^2 \)
\( [12, 15, 18] = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180 \).
Așadar, \( n - 5 = 180 \), de unde rezultă \( n = 185 \).
Răspuns: În școală sunt 185 de elevi.
Prin urmare, \( n - 5 \) este multiplu comun al numerelor 12, 15 și 18. Deoarece căutăm cel mai mic \( n \), trebuie să calculăm c.m.m.m.c. al numerelor:
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
\( 18 = 2 \cdot 3^2 \)
\( [12, 15, 18] = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180 \).
Așadar, \( n - 5 = 180 \), de unde rezultă \( n = 185 \).
Răspuns: În școală sunt 185 de elevi.
