IV.1.6.2. Subiectul III

Pentru a găsi rezultatul corect al expresiei date, vom respecta ordinea efectuării operațiilor: mai întâi operațiile cu puteri (împărțirea puterilor cu aceeași bază), apoi adunarea.

Pasul 1: Identificarea regulii de calcul cu puteri

Observăm că primele două elemente ale expresiei sunt puteri care au aceeași bază, și anume \( -\frac{1}{3} \). Expresia este: \[ \left(-\frac{1}{3}\right)^3 : \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{3} \] Vom aplica regula de împărțire a două puteri cu aceeași bază: \( a^m : a^n = a^{m-n} \).

Pasul 2: Efectuarea împărțirii puterilor

Scădem exponenții păstrând baza neschimbată: \[ \left(-\frac{1}{3}\right)^3 : \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^{3-2} = \left(-\frac{1}{3}\right)^1 \] Orice număr ridicat la puterea 1 este egal cu el însuși: \[ \left(-\frac{1}{3}\right)^1 = -\frac{1}{3} \]

Pasul 3: Efectuarea adunării

Acum adunăm rezultatul obținut la pasul anterior cu termenul rămas în expresie, \( \frac{2}{3} \): \[ -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \] Deoarece numitorii sunt egali, adunăm numărătorii: \[ \frac{-1 + 2}{3} = \frac{1}{3} \]

Pasul 4: Transformarea rezultatului în fracție zecimală

Rezultatul obținut este \( \frac{1}{3} \). Observăm variantele de răspuns. Varianta D este \( 0,(3) \). Să verificăm dacă \( \frac{1}{3} \) este egal cu \( 0,(3) \) prin împărțire: \( 1 : 3 = 0,333... = 0,(3) \) Prin urmare, varianta corectă este D.

\( \left(-\frac{1}{3}\right)^3 : \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{3} = \left(-\frac{1}{3}\right)^{3-2} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} = 0,(3) \) Răspuns: D.