Cele mai importante aspecte ale lecției
Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi se bazează pe aceeași regulă a semnelor:
Proprietatea elementului zero: Orice număr înmulțit cu \(0\) dă \(0\). Împărțirea la \(0\) nu are sens (nu se poate efectua).
- Factori cu același semn \(\implies\) rezultat pozitiv (\(+\)). Exemplu: \( (-3) \cdot (-5) = 15 \); \( (-8):(-2) = 4 \).
- Factori cu semne diferite \(\implies\) rezultat negativ (\(-\)). Exemplu: \( (+4) \cdot (-6) = -24 \); \( 10:(-5) = -2 \).
Proprietatea elementului zero: Orice număr înmulțit cu \(0\) dă \(0\). Împărțirea la \(0\) nu are sens (nu se poate efectua).
Produsul a două numere întregi este un număr întreg al cărui modul este egal cu produsul modulelor celor două numere, iar semnul este stabilit prin regula semnelor.
Regula semnelor la înmulțire:
- Dacă numerele au același semn, produsul este pozitiv (+): \[ (+)\cdot(+) = (+) \] \[ (-)\cdot(-) = (+) \]
- Dacă numerele au semne diferite, produsul este negativ (-): \[ (+)\cdot(-) = (-) \] \[ (-)\cdot(+) = (-) \]
Produsul oricărui număr întreg cu 0 este egal cu 0. Un produs este egal cu 0 dacă și numai dacă cel puțin un factor al produsului este egal cu 0.
\( (+4) \cdot (+3) = +12 \) (aceleași semne)
\( (-4) \cdot (-3) = +12 \) (aceleași semne)
\( (-4) \cdot (+3) = -12 \) (semne diferite)
\( (+4) \cdot (-3) = -12 \) (semne diferite)
\( (-17) \cdot 0 = 0 \)
\( (-4) \cdot (-3) = +12 \) (aceleași semne)
\( (-4) \cdot (+3) = -12 \) (semne diferite)
\( (+4) \cdot (-3) = -12 \) (semne diferite)
\( (-17) \cdot 0 = 0 \)
Calculați: a) \( (-7) \cdot (-5) \); b) \( (+8) \cdot (-2) \)
a) Numerele au același semn, deci rezultatul este pozitiv: \( (-7) \cdot (-5) = +35 \)
b) Numerele au semne diferite, deci rezultatul este negativ: \( (+8) \cdot (-2) = -16 \)
b) Numerele au semne diferite, deci rezultatul este negativ: \( (+8) \cdot (-2) = -16 \)
Oricare ar fi numerele întregi \(a\), \(b\) și \(c\), operația de înmulțire are următoarele proprietăți:
| Asociativitatea | \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \) |
| Comutativitatea | \( a \cdot b = b \cdot a \) |
| Element neutru | \( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \) |
| Distributivitatea |
față de adunare: \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \) față de scădere: \( a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c \) |
Calcul rapid folosind asociativitatea și comutativitatea:
\( (-25) \cdot (+17) \cdot (-4) = [(-25) \cdot (-4)] \cdot (+17) = (+100) \cdot (+17) = +1700 \)
\( (-25) \cdot (+17) \cdot (-4) = [(-25) \cdot (-4)] \cdot (+17) = (+100) \cdot (+17) = +1700 \)
Folosind distributivitatea, calculați: \( (-5) \cdot 12 + (-5) \cdot 88 \)
Se dă factor comun \( (-5) \):
\( (-5) \cdot (12 + 88) = (-5) \cdot 100 = -500 \)
\( (-5) \cdot (12 + 88) = (-5) \cdot 100 = -500 \)
Înmulțirea unei egalități:
Dacă \( a = b \), atunci \( a \cdot c = b \cdot c \). (Egalitatea se păstrează întotdeauna).
Dacă \( a = b \), atunci \( a \cdot c = b \cdot c \). (Egalitatea se păstrează întotdeauna).
Înmulțirea unei inegalități:
Dacă \( a < b \), atunci:
Dacă \( a < b \), atunci:
- Dacă înmulțim cu un număr pozitiv (\( c > 0 \)), sensul inegalității se păstrează:
\( a \cdot c < b \cdot c \) - Dacă înmulțim cu un număr negativ (\( c < 0 \)), sensul inegalității se schimbă:
\( a \cdot c > b \cdot c \)
Știm că \( -2 < 5 \).
Înmulțind cu \( +3 \) (pozitiv): \( -2 \cdot (+3) < 5 \cdot (+3) \implies -6 < 15 \) (Adevărat, sensul se păstrează).
Înmulțind cu \( -3 \) (negativ): \( -2 \cdot (-3) > 5 \cdot (-3) \implies +6 > -15 \) (Adevărat, sensul s-a schimbat).
Înmulțind cu \( +3 \) (pozitiv): \( -2 \cdot (+3) < 5 \cdot (+3) \implies -6 < 15 \) (Adevărat, sensul se păstrează).
Înmulțind cu \( -3 \) (negativ): \( -2 \cdot (-3) > 5 \cdot (-3) \implies +6 > -15 \) (Adevărat, sensul s-a schimbat).
Dacă \( x > y \), stabiliți relația (inegalitatea) dintre \( -4 \cdot x \) și \( -4 \cdot y \).
Deoarece înmulțim cu un număr negativ (\(-4 < 0\)), sensul inegalității se schimbă.
Rezultă: \( -4 \cdot x < -4 \cdot y \).
Rezultă: \( -4 \cdot x < -4 \cdot y \).
Câtul a două numere întregi \( a \) (deîmpărțit) și \( b \) (împărțitor), cu \( b \neq 0 \), se notează \( a : b \).
Operația de împărțire are ca rezultat un număr întreg numai dacă modulul deîmpărțitului este divizibil cu modulul împărțitorului (\( |a| \vdots |b| \)). Împărțirea la zero nu are sens!
Regula semnelor la împărțire este identică cu cea de la înmulțire:
- Același semn \(\implies\) cât pozitiv (+): \((+) : (+) = (+)\) și \((-) : (-) = (+)\)
- Semne diferite \(\implies\) cât negativ (-): \((+) : (-) = (-)\) și \((-) : (+) = (-)\)
\( (+15) : (+3) = +5 \)
\( (-12) : (-3) = +4 \)
\( (-20) : (+4) = -5 \)
\( (-12) : (-3) = +4 \)
\( (-20) : (+4) = -5 \)
Calculați: \( (-42) : (-7) \) și \( 36 : (-4) \)
\( (-42) : (-7) = +6 \) (deoarece numerele au același semn, minus).
\( 36 : (-4) = -9 \) (deoarece numerele au semne diferite).
\( 36 : (-4) = -9 \) (deoarece numerele au semne diferite).
Probleme pentru exersare
Dificultate Ușoară: Calculați, respectând regula semnelor și ordinea efectuării operațiilor:
a) \( (-9) \cdot (+6) \)
b) \( (-54) : (-9) \)
a) \( (-9) \cdot (+6) \)
b) \( (-54) : (-9) \)
a) \( (-9) \cdot (+6) = -54 \) (semne diferite \(\implies -\))
b) \( (-54) : (-9) = +6 \) (aceleași semne \(\implies +\))
b) \( (-54) : (-9) = +6 \) (aceleași semne \(\implies +\))
Dificultate Medie: Efectuați următorul calcul:
\( (-24) : (+6) \cdot (-3) \)
\( (-24) : (+6) \cdot (-3) \)
Operațiile de înmulțire și împărțire au aceeași prioritate și se efectuează în ordinea în care sunt scrise (de la stânga la dreapta).
1. \( (-24) : (+6) = -4 \)
2. \( (-4) \cdot (-3) = +12 \)
Răspuns final: \( 12 \)
1. \( (-24) : (+6) = -4 \)
2. \( (-4) \cdot (-3) = +12 \)
Răspuns final: \( 12 \)
Dificultate Ridicată: Se consideră numerele întregi \(a\) și \(b\). Știind că diferența lor este \(a - b = -7\), calculați valoarea expresiei matematice:
\( (-4) \cdot a - (-4) \cdot b \)
\( (-4) \cdot a - (-4) \cdot b \)
Folosim proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de scădere pentru a scoate factor comun pe \( (-4) \):
\( (-4) \cdot a - (-4) \cdot b = (-4) \cdot (a - b) \)
Din ipoteză știm că \( (a - b) = -7 \). Înlocuim în expresie:
\( (-4) \cdot (-7) = +28 \)
Răspuns: \( 28 \)
\( (-4) \cdot a - (-4) \cdot b = (-4) \cdot (a - b) \)
Din ipoteză știm că \( (a - b) = -7 \). Înlocuim în expresie:
\( (-4) \cdot (-7) = +28 \)
Răspuns: \( 28 \)
