VI.1.6. Autoevaluare

a) Determinarea măsurii unghiului BAC

Pasul 1: Identificarea naturii segmentului AD și a punctului M

Ni se spune că \( AD \) este înălțime în \( \Delta ABC \), deci \( AD \perp BC \). Punctul \( M \) se află pe segmentul \( AD \) și este egal depărtat de laturile \( AB \) și \( AC \). În geometrie, locul geometric al punctelor egal depărtate de laturile unui unghi este bisectoarea acelui unghi. Prin urmare, semidreapta \( AM \) este bisectoarea unghiului \( \sphericalangle BAC \).

Pasul 2: Analiza liniilor importante

Deoarece punctul \( M \) se află pe înălțimea \( AD \) și \( AM \) este și bisectoare, rezultă că înălțimea \( AD \) coincide cu bisectoarea unghiului \( A \). Această proprietate este specifică triunghiurilor isoscele, unde linia importantă dusă din vârf pe bază îndeplinește mai multe roluri. Deci, \( \Delta ABC \) este isoscel cu \( AB = AC \).

Pasul 3: Calcularea măsurii unghiului BAC

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt congruente. Dacă \( AB = AC \), atunci: \[ \sphericalangle ACB = \sphericalangle ABC = 50^\circ \] Suma măsurilor unghiurilor într-un triunghi este \( 180^\circ \). Calculăm \( \sphericalangle BAC \): \[ \sphericalangle BAC = 180^\circ - (\sphericalangle ABC + \sphericalangle ACB) \] \[ \sphericalangle BAC = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \] Răspunsul corect este **B**.

b) Unghiul dintre dreptele PH și MN

Pasul 1: Identificarea ortocentrului și a celei de-a treia înălțimi

În \( \Delta MNP \), \( MM' \) și \( NN' \) sunt înălțimi. Punctul de intersecție al înălțimilor, \( H \), este ortocentrul triunghiului. Conform proprietății de concurență, toate cele trei înălțimi trec prin punctul \( H \).

Pasul 2: Determinarea direcției dreptei PH

Deoarece \( H \) este ortocentrul, dreapta care unește vârful \( P \) cu \( H \) (adică dreapta \( PH \)) trebuie să conțină cea de-a treia înălțime a triunghiului. Prin definiție, înălțimea dusă din vârful \( P \) este perpendiculară pe latura opusă, \( MN \).

Pasul 3: Stabilirea măsurii unghiului

Fiind înălțime, rezultă că \( PH \perp MN \). Unghiul format de două drepte perpendiculare are măsura de \( 90^\circ \). Răspunsul corect este **C**.

a)

\( M \in AD \text{ și dist}(M, AB) = \text{ dist}(M, AC) \Rightarrow AD \text{ bisectoare} \) \( AD \perp BC \text{ și } AD \text{ bisectoare } \Rightarrow AB = AC \Rightarrow \sphericalangle C = 50^\circ \) \( \sphericalangle A = 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ \) (Varianta **B**)

b)

\( H = \text{ ortocentru } \Rightarrow PH \text{ este suportul înălțimii din } P \) \( PH \perp MN \Rightarrow \measuredangle(PH, MN) = 90^\circ \) (Varianta **C**)