Cele mai importante aspecte ale lecției
- Unghiurile în jurul unui punct sunt unghiuri care au un vârf comun și interioarele complet separate (disjuncte).
- Regula de aur: Indiferent de câte unghiuri se formează în jurul unui punct, suma măsurilor lor va fi mereu egală cu \(360^\circ\).
- Această regulă geometrică se transformă adesea în ecuații algebrice pentru rezolvarea problemelor, permițând determinarea unor unghiuri necunoscute pornind de la un total fix (\(360^\circ\)).
Unghiuri în jurul unui punct reprezintă un număr finit de unghiuri proprii care îndeplinesc simultan anumite condiții geometrice.
Proprietățile unghiurilor în jurul unui punct:
- Au vârful comun.
- Oricare două dintre ele au interioarele disjuncte (nu au puncte interioare comune/nu se suprapun).
- Suma măsurilor lor este egală cu \(360^\circ\).
Două unghiuri proprii cu același vârf au măsurile de \(120^\circ\) și \(150^\circ\). Pot fi ele considerate unghiuri în jurul unui punct?
Răspuns: Nu. Pentru a fi unghiuri în jurul unui punct, suma măsurilor lor trebuie să fie obligatoriu \(360^\circ\). Deoarece \(120^\circ + 150^\circ = 270^\circ < 360^\circ\), ele nu formează singure unghiuri în jurul punctului. Ar mai fi nevoie de un unghi cu măsura de \(90^\circ\) pentru a completa planul.
Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este de \(360^\circ\).
\[ \measuredangle_1 + \measuredangle_2 + ... + \measuredangle_n = 360^\circ \]
Această teoremă ne permite să aflăm măsura unui unghi necunoscut dacă cunoaștem măsurile celorlalte unghiuri din jurul aceluiași punct, alcătuind o ecuație sau scăzând suma unghiurilor cunoscute din \(360^\circ\).
În jurul unui punct se formează trei unghiuri. Două dintre ele au măsurile de \(110^\circ\) și \(130^\circ\). Calculați măsura celui de-al treilea unghi.
Notăm măsura celui de-al treilea unghi cu \(x\).
Știm că suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct este \(360^\circ\).
\[ 110^\circ + 130^\circ + x = 360^\circ \]
\[ 240^\circ + x = 360^\circ \]
\[ x = 360^\circ - 240^\circ \]
\[ x = 120^\circ \]
Răspuns: Al treilea unghi are măsura de \(120^\circ\).
Știm că suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct este \(360^\circ\).
\[ 110^\circ + 130^\circ + x = 360^\circ \]
\[ 240^\circ + x = 360^\circ \]
\[ x = 360^\circ - 240^\circ \]
\[ x = 120^\circ \]
Răspuns: Al treilea unghi are măsura de \(120^\circ\).
Probleme de practică
Dificultate: Ușoară
În jurul unui punct sunt formate cinci unghiuri congruente (care au măsuri egale). Calculați măsura fiecărui unghi.
În jurul unui punct sunt formate cinci unghiuri congruente (care au măsuri egale). Calculați măsura fiecărui unghi.
Fie \(x\) măsura unui astfel de unghi. Deoarece sunt 5 unghiuri congruente în jurul aceluiași punct, suma lor este \(360^\circ\).
\[ 5 \cdot x = 360^\circ \]
\[ x = 360^\circ : 5 \]
\[ x = 72^\circ \]
Răspuns: Fiecare unghi are măsura de \(72^\circ\).
\[ 5 \cdot x = 360^\circ \]
\[ x = 360^\circ : 5 \]
\[ x = 72^\circ \]
Răspuns: Fiecare unghi are măsura de \(72^\circ\).
Dificultate: Medie
În jurul unui punct sunt formate trei unghiuri. Măsura primului unghi este \(x^\circ\), măsura celui de-al doilea este de două ori mai mare decât primul, iar al treilea este de trei ori mai mare decât primul. Aflați măsurile celor trei unghiuri.
În jurul unui punct sunt formate trei unghiuri. Măsura primului unghi este \(x^\circ\), măsura celui de-al doilea este de două ori mai mare decât primul, iar al treilea este de trei ori mai mare decât primul. Aflați măsurile celor trei unghiuri.
Măsurile celor trei unghiuri pot fi exprimate astfel: \(x\), \(2x\), și \(3x\).
Știm că suma lor trebuie să fie \(360^\circ\).
\[ x + 2x + 3x = 360^\circ \]
\[ 6x = 360^\circ \]
\[ x = 360^\circ : 6 = 60^\circ \]
Acum calculăm măsurile fiecărui unghi:
Știm că suma lor trebuie să fie \(360^\circ\).
\[ x + 2x + 3x = 360^\circ \]
\[ 6x = 360^\circ \]
\[ x = 360^\circ : 6 = 60^\circ \]
Acum calculăm măsurile fiecărui unghi:
- Primul unghi: \(60^\circ\)
- Al doilea unghi: \(2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\)
- Al treilea unghi: \(3 \cdot 60^\circ = 180^\circ\)
Dificultate: Grea
În jurul unui punct se consideră cinci unghiuri care nu au puncte interioare comune, având măsurile exprimate astfel: \(x^\circ\), \(x^\circ + 15^\circ\), \(2x^\circ - 30^\circ\), \(2x^\circ + 10^\circ\) și \(3x^\circ - 40^\circ\). Calculați măsurile celor cinci unghiuri.
În jurul unui punct se consideră cinci unghiuri care nu au puncte interioare comune, având măsurile exprimate astfel: \(x^\circ\), \(x^\circ + 15^\circ\), \(2x^\circ - 30^\circ\), \(2x^\circ + 10^\circ\) și \(3x^\circ - 40^\circ\). Calculați măsurile celor cinci unghiuri.
Suma măsurilor celor cinci unghiuri în jurul unui punct este \(360^\circ\). Scriem ecuația:
\[ x + (x + 15) + (2x - 30) + (2x + 10) + (3x - 40) = 360 \]
Grupăm și adunăm termenii care conțin necunoscuta \(x\):
\(x + x + 2x + 2x + 3x = 9x\)
Efectuăm calculele cu numerele libere:
\(15 - 30 + 10 - 40 = -45\)
Ecuația devine:
\[ 9x - 45 = 360 \]
\[ 9x = 360 + 45 \]
\[ 9x = 405 \]
\[ x = 405 : 9 = 45^\circ \]
Înlocuim valoarea lui \(x\) pentru a afla măsurile fiecărui unghi:
\[ x + (x + 15) + (2x - 30) + (2x + 10) + (3x - 40) = 360 \]
Grupăm și adunăm termenii care conțin necunoscuta \(x\):
\(x + x + 2x + 2x + 3x = 9x\)
Efectuăm calculele cu numerele libere:
\(15 - 30 + 10 - 40 = -45\)
Ecuația devine:
\[ 9x - 45 = 360 \]
\[ 9x = 360 + 45 \]
\[ 9x = 405 \]
\[ x = 405 : 9 = 45^\circ \]
Înlocuim valoarea lui \(x\) pentru a afla măsurile fiecărui unghi:
- Unghiul 1: \(45^\circ\)
- Unghiul 2: \(45^\circ + 15^\circ = 60^\circ\)
- Unghiul 3: \(2 \cdot 45^\circ - 30^\circ = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)
- Unghiul 4: \(2 \cdot 45^\circ + 10^\circ = 90^\circ + 10^\circ = 100^\circ\)
- Unghiul 5: \(3 \cdot 45^\circ - 40^\circ = 135^\circ - 40^\circ = 95^\circ\)
