Cele mai importante aspecte ale lecției
Elemente cheie: Cercul \(\mathcal{C}(O, r)\) este compus din puncte egal distanțate de centru. Elementele de bază includ raza, coarda și diametrul (\(D = 2r\)).
Măsurarea arcelor: Cercul complet are \(360^\circ\), iar un semicerc \(180^\circ\). Măsura arcului mic este identică cu a unghiului la centru corespunzător.
Tangenta la cerc: O dreaptă este tangentă unui cerc dacă atinge cercul într-un singur punct, caz în care este perpendiculară pe raza în acel punct (\(d = r\)).
Cercuri relative: Relația dintre două cercuri depinde exclusiv de comparația dintre distanța centrelor (\(d\)) și suma/diferența razelor.
Măsurarea arcelor: Cercul complet are \(360^\circ\), iar un semicerc \(180^\circ\). Măsura arcului mic este identică cu a unghiului la centru corespunzător.
Tangenta la cerc: O dreaptă este tangentă unui cerc dacă atinge cercul într-un singur punct, caz în care este perpendiculară pe raza în acel punct (\(d = r\)).
Cercuri relative: Relația dintre două cercuri depinde exclusiv de comparația dintre distanța centrelor (\(d\)) și suma/diferența razelor.
Mulțimea tuturor punctelor din plan situate la o distanță egală \(r\) față de un punct fix \(O\) formează cercul de centru \(O\) și rază \(r\). Se notează \(\mathcal{C}(O, r)\).
Raza: segmentul care unește centrul cercului cu un punct de pe cerc (lungimea se notează cu \(r\)).
Coarda: segmentul determinat de două puncte distincte de pe cerc.
Diametrul: coarda care trece prin centrul cercului. Lungimea sa este \(D = 2r\). Extremitățile sale se numesc puncte diametral opuse.
Arcul de cerc: porțiunea de cerc cuprinsă între două puncte distincte de pe cerc. Arcul determinat de un diametru se numește semicerc.
Discul: reuniunea cercului cu interiorul său. Se notează \(\mathcal{D}(O, r)\).
Dacă diametrul unui cerc este de \(14 \text{ cm}\), care este lungimea razei?
Deoarece diametrul este dublul razei (\(D = 2r\)), raza va fi jumătate din diametru:
\[ r = 14 : 2 = 7 \text{ cm} \]
Un unghi care are vârful în centrul unui cerc se numește unghi la centru.
Măsura unui arc mic de cerc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător. (Ex: \(\overset{\frown}{AB} = \sphericalangle AOB\))
- Măsura unui cerc întreg este de \(360^\circ\).
- Măsura unui semicerc este de \(180^\circ\).
- Măsura unui arc mare de cerc este diferența dintre \(360^\circ\) și măsura arcului mic corespunzător.
Două arce de cerc care au aceeași măsură în grade se numesc arce congruente.
Punctele \(A\) și \(B\) se află pe un cerc de centru \(O\). Dacă \(\sphericalangle AOB = 75^\circ\), aflați măsura arcului mare \(\overset{\frown}{AB}\).
Măsura arcului mic \(\overset{\frown}{AB}\) este egală cu măsura unghiului la centru, adică \(75^\circ\).
Măsura arcului mare \(\overset{\frown}{AB} = 360^\circ - 75^\circ = 285^\circ\).
Măsura arcului mare \(\overset{\frown}{AB} = 360^\circ - 75^\circ = 285^\circ\).
Fie un cerc de centru \(O\) și rază \(r\).
Poziția unui punct \(A\):
- Interior: distanța \(OA < r\).
- Pe cerc: distanța \(OA = r\).
- Exterior: distanța \(OA > r\).
Poziția unei drepte \(a\): (unde \(d\) este distanța de la centrul \(O\) la dreaptă)
- Dreaptă exterioară (\(d > r\)): zero puncte comune cu cercul.
- Dreaptă tangentă (\(d = r\)): un singur punct comun. Atenție: Dreapta tangentă este perpendiculară pe rază în punctul de contact!
- Dreaptă secantă (\(d < r\)): două puncte comune cu cercul.
O dreaptă nu poate avea mai mult de două puncte comune cu un cerc.
Fie două cercuri de raze \(r_1\) și \(r_2\), iar \(d\) distanța dintre centrele lor. Pozițiile posibile sunt:
| Poziție | Puncte comune | Relația matematică |
|---|---|---|
| Exterioare | 0 | \(d > r_1 + r_2\) |
| Tangente exterioare | 1 | \(d = r_1 + r_2\) |
| Secante | 2 | \(|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2\) |
| Tangente interioare | 1 | \(d = |r_1 - r_2|\) |
| Interioare | 0 | \(d < |r_1 - r_2|\) |
| Concentrice | 0 | \(d = 0\) (au același centru) |
Linia centrelor a două cercuri secante este mediatoarea coardei lor comune.
Exerciții și probleme
Ușoară: Două cercuri au razele \(r_1 = 5 \text{ cm}\) și \(r_2 = 3 \text{ cm}\). Distanța dintre centrele lor este \(d = 8 \text{ cm}\). Stabiliți poziția relativă a celor două cercuri și numărul de puncte comune.
Calculăm suma razelor: \(r_1 + r_2 = 5 + 3 = 8 \text{ cm}\).
Deoarece \(d = r_1 + r_2\) (\(8 = 8\)), cercurile sunt tangente exterioare.
Răspuns: Au exact un punct comun.
Deoarece \(d = r_1 + r_2\) (\(8 = 8\)), cercurile sunt tangente exterioare.
Răspuns: Au exact un punct comun.
Medie: Pe un cerc cu centrul \(O\) se consideră punctele \(A\) și \(B\) astfel încât coarda \(AB\) este egală cu raza cercului. Care este măsura arcului mic \(\overset{\frown}{AB}\)?
Dacă \(AB = r\), iar \(OA = r\) și \(OB = r\) (deoarece sunt raze), atunci triunghiul \(\triangle AOB\) are toate laturile egale.
Prin urmare, \(\triangle AOB\) este un triunghi echilateral.
Măsura unghiului la centru \(\sphericalangle AOB\) va fi de \(60^\circ\).
Cum măsura arcului mic este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător, obținem: \(\overset{\frown}{AB} = 60^\circ\).
Prin urmare, \(\triangle AOB\) este un triunghi echilateral.
Măsura unghiului la centru \(\sphericalangle AOB\) va fi de \(60^\circ\).
Cum măsura arcului mic este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător, obținem: \(\overset{\frown}{AB} = 60^\circ\).
Dificilă: Punctele \(A, B, C\) și \(D\) se află pe un cerc, în această ordine, astfel încât arcele \(\overset{\frown}{AB}, \overset{\frown}{BC}\) și \(\overset{\frown}{CD}\) sunt congruente și au fiecare \(70^\circ\). Calculați măsura unghiului la centru \(\sphericalangle AOD\). Sunt punctele \(A, O, D\) coliniare?
Măsura arcului \(\overset{\frown}{AD}\) (format din cele 3 arce consecutive) este suma acestora:
\[ \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{CD} = 70^\circ + 70^\circ + 70^\circ = 210^\circ \]
Acesta este arcul mare (este mai mare de \(180^\circ\)).
Măsura unghiului la centru se citește de obicei pe arcul mic, care va fi \(360^\circ - 210^\circ = 150^\circ\). Deci \(\sphericalangle AOD = 150^\circ\).
Punctele ar fi coliniare doar dacă \(\sphericalangle AOD = 180^\circ\).
Răspuns: \(\sphericalangle AOD = 150^\circ\); punctele nu sunt coliniare.
Măsura unghiului la centru se citește de obicei pe arcul mic, care va fi \(360^\circ - 210^\circ = 150^\circ\). Deci \(\sphericalangle AOD = 150^\circ\).
Punctele ar fi coliniare doar dacă \(\sphericalangle AOD = 180^\circ\).
Răspuns: \(\sphericalangle AOD = 150^\circ\); punctele nu sunt coliniare.
