Cele mai importante aspecte ale lecției
- (a, b) reprezintă c.m.m.d.c.: Produsul factorilor primi comuni la puterea cea mai mică. Numerele cu c.m.m.d.c. = 1 sunt prime între ele.
- [a, b] reprezintă c.m.m.m.c.: Produsul factorilor primi comuni și necomuni la puterea cea mai mare.
- Relația fundamentală dintre cele două este: \( a \cdot b = (a, b) \cdot [a, b] \)
- Dacă o problemă împarte o mulțime în grupuri fixe cu același rest, rezolvarea implică de obicei găsirea c.m.m.m.c. urmată de adunarea restului.
Cel mai mare divizor comun al numerelor naturale \( a \) și \( b \) se notează cu \( (a, b) \).
Orice două numere naturale au cel puțin un divizor comun, și acesta este 1. Mulțimea divizorilor comuni numerelor \( a \) și \( b \) este egală cu mulțimea divizorilor celui mai mare divizor comun al lor, \( d \):
\[ D_a \cap D_b = D_d \]
Calculul C.M.M.D.C.:
Se descompun numerele în produse de puteri de numere prime.
Se înmulțesc factorii comuni din cele două descompuneri, luați o singură dată, la puterea cea mai mică.
Calculăm \( (72, 240) \):
1. Descompunem: \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \) și \( 240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \).
2. Factorii primi comuni sunt 2 și 3. Puterile cele mai mici sunt \( 2^3 \) și \( 3^1 \).
3. Rezultat: \( (72, 240) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 \).
1. Descompunem: \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \) și \( 240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \).
2. Factorii primi comuni sunt 2 și 3. Puterile cele mai mici sunt \( 2^3 \) și \( 3^1 \).
3. Rezultat: \( (72, 240) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 \).
Calculați cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 144.
Descompunem numerele:
\( 48 = 2^4 \cdot 3 \)
\( 144 = 2^4 \cdot 3^2 \)
Factorii comuni la puterea cea mai mică sunt \( 2^4 \) și \( 3^1 \).
\( (48, 144) = 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48 \).
Observație: Deoarece 144 este multiplu de 48, c.m.m.d.c. este chiar numărul mai mic.
\( 48 = 2^4 \cdot 3 \)
\( 144 = 2^4 \cdot 3^2 \)
Factorii comuni la puterea cea mai mică sunt \( 2^4 \) și \( 3^1 \).
\( (48, 144) = 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48 \).
Observație: Deoarece 144 este multiplu de 48, c.m.m.d.c. este chiar numărul mai mic.
Dacă două numere naturale au un singur divizor comun (acesta fiind 1), atunci cele două numere se numesc numere prime între ele.
Două numere \( a \) și \( b \) sunt prime între ele dacă și numai dacă:
\[ (a, b) = 1 \]
Fie numerele 8 și 15.
\( 8 = 2^3 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
Nu au niciun factor prim comun, deci singurul lor divizor comun este 1. Rezultă că 8 și 15 sunt prime între ele.
\( 8 = 2^3 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
Nu au niciun factor prim comun, deci singurul lor divizor comun este 1. Rezultă că 8 și 15 sunt prime între ele.
Sunt numerele 14 și 27 prime între ele?
Descompunem numerele:
\( 14 = 2 \cdot 7 \)
\( 27 = 3^3 \)
Nu există factori primi comuni în descompunerea lor, deci \( (14, 27) = 1 \). Numerele sunt prime între ele.
\( 14 = 2 \cdot 7 \)
\( 27 = 3^3 \)
Nu există factori primi comuni în descompunerea lor, deci \( (14, 27) = 1 \). Numerele sunt prime între ele.
Cel mai mic multiplu comun (nenul) al numerelor naturale \( a \) și \( b \) se notează cu \( [a, b] \).
Numărul 0 este multiplul oricărui număr natural. Produsul a două numere, \( p = a \cdot b \), este mereu un multiplu comun al acestora. Mulțimea multiplilor comuni a două numere este egală cu mulțimea multiplilor celui mai mic multiplu comun al lor, \( m \):
\[ M_a \cap M_b = M_m \]
Calculul C.M.M.M.C.:
Se descompun numerele în produse de puteri de numere prime.
Se înmulțesc factorii comuni și necomuni din cele două descompuneri, luați o singură dată, la puterea cea mai mare.
Calculăm \( [72, 240] \):
1. Descompunem: \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \) și \( 240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \).
2. Factorii sunt 2, 3 și 5. Puterile cele mai mari sunt \( 2^4 \), \( 3^2 \) și \( 5^1 \).
3. Rezultat: \( [72, 240] = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720 \).
1. Descompunem: \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \) și \( 240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \).
2. Factorii sunt 2, 3 și 5. Puterile cele mai mari sunt \( 2^4 \), \( 3^2 \) și \( 5^1 \).
3. Rezultat: \( [72, 240] = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720 \).
Calculați cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 și 15.
Descompunem:
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
Factorii comuni și necomuni la puterea cea mai mare sunt \( 2^2 \), \( 3 \) și \( 5 \).
\( [12, 15] = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \).
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
Factorii comuni și necomuni la puterea cea mai mare sunt \( 2^2 \), \( 3 \) și \( 5 \).
\( [12, 15] = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \).
Oricare ar fi două numere naturale \( a \) și \( b \), produsul lor este egal cu produsul dintre cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al acestora.
\[ a \cdot b = (a, b) \cdot [a, b] \]
Fie numerele \( a = 6 \) și \( b = 8 \).
\( (6, 8) = 2 \)
\( [6, 8] = 24 \)
Verificăm relația: \( 6 \cdot 8 = 48 \) și \( 2 \cdot 24 = 48 \). Egalitatea se confirmă.
\( (6, 8) = 2 \)
\( [6, 8] = 24 \)
Verificăm relația: \( 6 \cdot 8 = 48 \) și \( 2 \cdot 24 = 48 \). Egalitatea se confirmă.
Dacă produsul a două numere este egal cu 240 și cel mai mare divizor comun al lor este egal cu 4, determinați cel mai mic multiplu comun al celor două numere.
Aplicăm formula: \( a \cdot b = (a, b) \cdot [a, b] \).
Înlocuim datele cunoscute: \( 240 = 4 \cdot [a, b] \).
\( [a, b] = 240 : 4 = 60 \).
Cel mai mic multiplu comun este 60.
Înlocuim datele cunoscute: \( 240 = 4 \cdot [a, b] \).
\( [a, b] = 240 : 4 = 60 \).
Cel mai mic multiplu comun este 60.
Exerciții și probleme practice
Ușoară: Se dau numerele \( a = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \) și \( b = 2^3 \cdot 3 \cdot 7 \). Scrieți sub formă de produs de puteri de factori primi \( (a, b) \) și \( [a, b] \).
Pentru c.m.m.d.c. luăm factorii comuni la puterea cea mai mică:
\( (a, b) = 2^2 \cdot 3 \)
Pentru c.m.m.m.c. luăm factorii comuni și necomuni la puterea cea mai mare:
\( [a, b] = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \)
\( (a, b) = 2^2 \cdot 3 \)
Pentru c.m.m.m.c. luăm factorii comuni și necomuni la puterea cea mai mare:
\( [a, b] = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \)
Medie: Determinați cel mai mic număr natural \( n \) care împărțit la 8, la 12 și la 15 dă de fiecare dată restul 5.
Conform teoremei împărțirii cu rest, avem:
\( n = 8 \cdot x + 5 \Rightarrow n - 5 = 8 \cdot x \)
\( n = 12 \cdot y + 5 \Rightarrow n - 5 = 12 \cdot y \)
\( n = 15 \cdot z + 5 \Rightarrow n - 5 = 15 \cdot z \)
Observăm că numărul \( n - 5 \) se împarte exact la 8, 12 și 15, deci este un multiplu comun al acestora. Deoarece căutăm cel mai mic \( n \), trebuie să găsim cel mai mic multiplu comun nenul al numerelor 8, 12 și 15.
\( 8 = 2^3 \)
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
\( [8, 12, 15] = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120 \)
Deci, \( n - 5 = 120 \Rightarrow n = 125 \).
\( n = 8 \cdot x + 5 \Rightarrow n - 5 = 8 \cdot x \)
\( n = 12 \cdot y + 5 \Rightarrow n - 5 = 12 \cdot y \)
\( n = 15 \cdot z + 5 \Rightarrow n - 5 = 15 \cdot z \)
Observăm că numărul \( n - 5 \) se împarte exact la 8, 12 și 15, deci este un multiplu comun al acestora. Deoarece căutăm cel mai mic \( n \), trebuie să găsim cel mai mic multiplu comun nenul al numerelor 8, 12 și 15.
\( 8 = 2^3 \)
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
\( [8, 12, 15] = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120 \)
Deci, \( n - 5 = 120 \Rightarrow n = 125 \).
Dificilă: Dacă muncitorii unui șantier ar fi repartizați în echipe de câte 8, 12 sau 15 muncitori, trei dintre aceștia ar rămâne de fiecare dată nerepartizați. Calculați numărul de muncitori din șantier, știind că acesta este mai mare decât 15 și mai mic decât 240.
Notăm cu \( n \) numărul de muncitori, cu condiția \( 15 < n < 240 \).
Din datele problemei:
\( n = 8 \cdot a + 3 \Rightarrow n - 3 \) este multiplu de 8.
\( n = 12 \cdot b + 3 \Rightarrow n - 3 \) este multiplu de 12.
\( n = 15 \cdot c + 3 \Rightarrow n - 3 \) este multiplu de 15.
Așadar, \( n - 3 \) este un multiplu comun al numerelor 8, 12 și 15, adică \( n - 3 \in M_{[8, 12, 15]} \).
Calculăm c.m.m.m.c.: \( [8, 12, 15] = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120 \).
Mulțimea multiplilor lui 120 este \( M_{120} = \{0, 120, 240, 360, \dots\} \).
Deoarece \( n - 3 \in \{0, 120, 240, \dots\} \), adăugând 3, obținem posibilele valori pentru \( n \): \( \{3, 123, 243, \dots\} \).
Cum trebuie să respectăm condiția \( 15 < n < 240 \), singura valoare potrivită este \( n = 123 \).
Răspuns: Pe șantier sunt 123 de muncitori.
Din datele problemei:
\( n = 8 \cdot a + 3 \Rightarrow n - 3 \) este multiplu de 8.
\( n = 12 \cdot b + 3 \Rightarrow n - 3 \) este multiplu de 12.
\( n = 15 \cdot c + 3 \Rightarrow n - 3 \) este multiplu de 15.
Așadar, \( n - 3 \) este un multiplu comun al numerelor 8, 12 și 15, adică \( n - 3 \in M_{[8, 12, 15]} \).
Calculăm c.m.m.m.c.: \( [8, 12, 15] = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120 \).
Mulțimea multiplilor lui 120 este \( M_{120} = \{0, 120, 240, 360, \dots\} \).
Deoarece \( n - 3 \in \{0, 120, 240, \dots\} \), adăugând 3, obținem posibilele valori pentru \( n \): \( \{3, 123, 243, \dots\} \).
Cum trebuie să respectăm condiția \( 15 < n < 240 \), singura valoare potrivită este \( n = 123 \).
Răspuns: Pe șantier sunt 123 de muncitori.
