Cele mai importante aspecte ale lecției
Concepte fundamentale:
• Adiacente: Au vârf comun, o latură comună la mijloc și interioare separate.
• Opuse la vârf: Laturile unuia sunt prelungirile celuilalt. Sunt întotdeauna egale.
• În jurul unui punct: Suma lor acoperă tot planul și este de \( 360^\circ \).
• Complementare: Două unghiuri a căror sumă este \( 90^\circ \).
• Suplementare: Două unghiuri a căror sumă este \( 180^\circ \).
• Bisectoarea: Semidreapta care împarte un unghi în două jumătăți egale (\( \frac{x}{2} \)).
• Adiacente: Au vârf comun, o latură comună la mijloc și interioare separate.
• Opuse la vârf: Laturile unuia sunt prelungirile celuilalt. Sunt întotdeauna egale.
• În jurul unui punct: Suma lor acoperă tot planul și este de \( 360^\circ \).
• Complementare: Două unghiuri a căror sumă este \( 90^\circ \).
• Suplementare: Două unghiuri a căror sumă este \( 180^\circ \).
• Bisectoarea: Semidreapta care împarte un unghi în două jumătăți egale (\( \frac{x}{2} \)).
Două unghiuri care au același vârf și laturile perechi de semidrepte opuse (în prelungire) se numesc unghiuri opuse la vârf.
Unghiurile opuse la vârf sunt congruente (au aceeași măsură).
Două drepte concurente formează patru unghiuri. Dacă măsura unuia dintre ele este de \( 45^\circ \), care este măsura unghiului opus lui la vârf?
Deoarece unghiurile opuse la vârf sunt congruente, măsura unghiului căutat este tot de \( 45^\circ \).
Unghiurile în jurul unui punct reprezintă un număr finit de unghiuri proprii care îndeplinesc trei condiții: au vârful comun, oricare două au interioarele disjuncte (nu au puncte comune) și ocupă tot planul.
Suma măsurilor tuturor unghiurilor formate în jurul unui punct este egală cu \( 360^\circ \).
Dacă \( x, y, z, \dots \) sunt măsurile unghiurilor în jurul unui punct, atunci:
\[ x + y + z + \dots = 360^\circ \]
În jurul unui punct se formează trei unghiuri congruente. Care este măsura fiecărui unghi?
Fie \( x \) măsura unui unghi. Suma lor este \( x + x + x = 360^\circ \). Prin urmare, \( 3x = 360^\circ \Rightarrow x = 120^\circ \).
Două unghiuri se numesc complementare dacă suma măsurilor lor este egală cu \( 90^\circ \). Fiecare unghi este complementul celuilalt.
Două unghiuri se numesc suplementare dacă suma măsurilor lor este egală cu \( 180^\circ \). Fiecare unghi este suplementul celuilalt.
Pentru un unghi cu măsura \( x^\circ \):
• Complementul său are măsura: \( 90^\circ - x^\circ \)
• Suplementul său are măsura: \( 180^\circ - x^\circ \)
• Complementul său are măsura: \( 90^\circ - x^\circ \)
• Suplementul său are măsura: \( 180^\circ - x^\circ \)
• Dacă două unghiuri complementare sunt congruente, fiecare are \( 45^\circ \).
• Dacă două unghiuri suplementare sunt congruente, fiecare are \( 90^\circ \) (sunt unghiuri drepte).
• Unghiurile congruente au complemente și suplemente congruente.
• Dacă două unghiuri suplementare sunt congruente, fiecare are \( 90^\circ \) (sunt unghiuri drepte).
• Unghiurile congruente au complemente și suplemente congruente.
Calculați măsura unui unghi știind că măsura complementului său este de \( 25^\circ \).
Fie \( x \) măsura unghiului. \( x + 25^\circ = 90^\circ \Rightarrow x = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \).
Două unghiuri se numesc adiacente dacă respectă simultan trei condiții:
- au vârful comun;
- au o latură comună;
- celelalte două laturi sunt situate de o parte și de alta a laturii comune (interioarele lor sunt disjuncte).
Unghiurile improprii (unghiul nul de \(0^\circ\) și unghiul alungit de \(180^\circ\)) nu pot fi adiacente cu niciun alt unghi.
• Adiacente complementare: Două unghiuri adiacente care formează împreună un unghi drept (\(90^\circ\)).
• Adiacente suplementare: Două unghiuri adiacente care formează împreună un unghi alungit (\(180^\circ\)).
• Adiacente suplementare: Două unghiuri adiacente care formează împreună un unghi alungit (\(180^\circ\)).
Bisectoarea unui unghi este semidreapta interioară unghiului, cu originea în vârful unghiului, care formează cu laturile acestuia două unghiuri congruente (împarte unghiul exact în jumătate).
Dacă semidreapta \( OM \) este bisectoarea unghiului \( \measuredangle AOB \), atunci:
\[ \measuredangle AOM = \measuredangle MOB = \frac{\measuredangle AOB}{2} \]
Bisectoarea este axa de simetrie a unghiului. Orice unghi propriu are o singură bisectoare.
Măsura unui unghi este de \( 76^\circ \). Ce măsură au unghiurile formate de bisectoarea sa cu laturile unghiului?
Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri egale.
\[ 76^\circ : 2 = 38^\circ \]
Fiecare dintre cele două unghiuri formate are măsura de \( 38^\circ \).
Probleme de antrenament
Ușoară: Aflați măsura suplementului complementului unui unghi cu măsura de \( 50^\circ \).
Pasul 1: Aflăm complementul unghiului de \( 50^\circ \).
\[ 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \]
Pasul 2: Aflăm suplementul acestui nou unghi (\( 40^\circ \)).
\[ 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \]
Răspuns: \( 140^\circ \).
Medie: În jurul unui punct \( O \) s-au format patru unghiuri. Măsurile primelor trei unghiuri sunt direct proporționale cu \( x, 2x \) și \( 3x \). Al patrulea unghi are măsura de \( 120^\circ \). Aflați valoarea lui \( x \) și măsurile celor trei unghiuri.
Știm că suma unghiurilor formate în jurul unui punct este \( 360^\circ \).
\[ x + 2x + 3x + 120^\circ = 360^\circ \]
\[ 6x + 120^\circ = 360^\circ \]
\[ 6x = 360^\circ - 120^\circ \]
\[ 6x = 240^\circ \Rightarrow x = 40^\circ \]
Cele trei unghiuri au măsurile:
Primul: \( x = 40^\circ \)
Al doilea: \( 2x = 80^\circ \)
Al treilea: \( 3x = 120^\circ \)
Primul: \( x = 40^\circ \)
Al doilea: \( 2x = 80^\circ \)
Al treilea: \( 3x = 120^\circ \)
Dificilă: Se consideră două unghiuri adiacente suplementare, \( \measuredangle AOB \) și \( \measuredangle BOC \). Fie \( OM \) bisectoarea unghiului \( \measuredangle AOB \) și \( ON \) bisectoarea unghiului \( \measuredangle BOC \). Demonstrați că unghiul \( \measuredangle MON \) format de cele două bisectoare este un unghi drept.
Știm că \( \measuredangle AOB \) și \( \measuredangle BOC \) sunt suplementare, deci:
\[ \measuredangle AOB + \measuredangle BOC = 180^\circ \]
Pentru că \( OM \) este bisectoare: \( \measuredangle MOB = \frac{\measuredangle AOB}{2} \).
Pentru că \( ON \) este bisectoare: \( \measuredangle BON = \frac{\measuredangle BOC}{2} \).
Unghiul format de bisectoare este \( \measuredangle MON = \measuredangle MOB + \measuredangle BON \). \[ \measuredangle MON = \frac{\measuredangle AOB}{2} + \frac{\measuredangle BOC}{2} = \frac{\measuredangle AOB + \measuredangle BOC}{2} \] \[ \measuredangle MON = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \] Deoarece are măsura de \( 90^\circ \), unghiul \( \measuredangle MON \) este drept. Aceasta este o teoremă universal valabilă: bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare sunt perpendiculare.
Pentru că \( ON \) este bisectoare: \( \measuredangle BON = \frac{\measuredangle BOC}{2} \).
Unghiul format de bisectoare este \( \measuredangle MON = \measuredangle MOB + \measuredangle BON \). \[ \measuredangle MON = \frac{\measuredangle AOB}{2} + \frac{\measuredangle BOC}{2} = \frac{\measuredangle AOB + \measuredangle BOC}{2} \] \[ \measuredangle MON = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \] Deoarece are măsura de \( 90^\circ \), unghiul \( \measuredangle MON \) este drept. Aceasta este o teoremă universal valabilă: bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare sunt perpendiculare.
