V.3.1. Autoevaluare

Analiza cerinței a)

Prin definiție, două drepte sunt perpendiculare dacă se intersectează formând un unghi cu măsura de \( 90^\circ \). Simbolul \( \perp \) reprezintă perpendicularitatea. Dacă \( AB \perp BC \), atunci măsura unghiului format de cele două segmente la vârful comun \( B \) este: \[ m(\sphericalangle ABC) = 90^\circ \] Un unghi cu măsura de \( 90^\circ \) se numește unghi drept. Prin urmare, răspunsul corect este B.

Analiza cerinței b)

Pentru a determina poziția relativă a dreptelor, trebuie să calculăm măsurile unghiurilor dintre ele. Știm că \( [OD \) este bisectoarea unghiului \( \sphericalangle AOB \), iar \( m(\sphericalangle AOB) = 100^\circ \). Proprietatea bisectoarei ne spune că aceasta împarte unghiul în două unghiuri congruente: \[ m(\sphericalangle AOD) = m(\sphericalangle BOD) = \frac{m(\sphericalangle AOB)}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ \] Punctul \( C \) este în interiorul \( \sphericalangle AOD \), deci: \[ m(\sphericalangle COD) = m(\sphericalangle AOD) - m(\sphericalangle AOC) = 50^\circ - 10^\circ = 40^\circ \] Punctul \( E \) este în interiorul \( \sphericalangle BOD \), deci: \[ m(\sphericalangle DOE) = m(\sphericalangle BOD) - m(\sphericalangle BOE) = 50^\circ - 10^\circ = 40^\circ \] Calculăm măsura unghiului dintre dreptele \( OB \) și \( OC \): \[ m(\sphericalangle BOC) = m(\sphericalangle BOD) + m(\sphericalangle COD) = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ \] Deoarece măsura unghiului este exact \( 90^\circ \), rezultă că dreptele \( OB \) și \( OC \) sunt perpendiculare. Aceasta corespunde variantei C. Să verificăm și varianta cu \( OA \) și \( OE \): \[ m(\sphericalangle AOE) = m(\sphericalangle AOD) + m(\sphericalangle DOE) = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ \] Deci \( OA \perp OE \). Varianta D susține că nu sunt perpendiculare, ceea ce este fals. Varianta B susține că sunt oblice, ceea ce este de asemenea fals (deoarece unghiul este de \( 90^\circ \)).

a) \( AB \perp BC \implies m(\sphericalangle ABC) = 90^\circ \implies \) unghi drept (B). b) \( m(\sphericalangle AOD) = m(\sphericalangle BOD) = 100^\circ : 2 = 50^\circ \) \( m(\sphericalangle COD) = 50^\circ - 10^\circ = 40^\circ \) \( m(\sphericalangle DOE) = 50^\circ - 10^\circ = 40^\circ \) \( m(\sphericalangle BOC) = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ \implies OB \perp OC \) (C). \( m(\sphericalangle AOE) = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ \implies OA \perp OE \).