Cele mai importante aspecte ale lecției
Pe scurt despre Numerele Întregi (\(\mathbb{Z}\)):
• Semne: \(+\) cu \(+\) face \(+\) / \(-\) cu \(-\) face \(+\) (la înmulțire/împărțire). Ex: \((-2) \cdot (-3) = 6\).
• Adunare: Semne identice \(\rightarrow\) se adună și se păstrează semnul (\(-2 - 3 = -5\)). Semne diferite \(\rightarrow\) se scad, câștigă semnul celui mai "mare" (\(-7 + 4 = -3\)).
• Opus și modul: Opusul lui \(-5\) este \(5\). Modulul \(|-5| = 5\).
• Puteri: Baza negativă ridicată la exponent par dă plus (\((-2)^2 = 4\)); la exponent impar dă minus (\((-2)^3 = -8\)).
• Operații: Mai întâi puterile, apoi \(\cdot\) și \(: \), la final \(+\) și \(-\). Atenție la desfacerea parantezelor: minusul din fața parantezei schimbă semnul termenilor!
• Semne: \(+\) cu \(+\) face \(+\) / \(-\) cu \(-\) face \(+\) (la înmulțire/împărțire). Ex: \((-2) \cdot (-3) = 6\).
• Adunare: Semne identice \(\rightarrow\) se adună și se păstrează semnul (\(-2 - 3 = -5\)). Semne diferite \(\rightarrow\) se scad, câștigă semnul celui mai "mare" (\(-7 + 4 = -3\)).
• Opus și modul: Opusul lui \(-5\) este \(5\). Modulul \(|-5| = 5\).
• Puteri: Baza negativă ridicată la exponent par dă plus (\((-2)^2 = 4\)); la exponent impar dă minus (\((-2)^3 = -8\)).
• Operații: Mai întâi puterile, apoi \(\cdot\) și \(: \), la final \(+\) și \(-\). Atenție la desfacerea parantezelor: minusul din fața parantezei schimbă semnul termenilor!
Numărul întreg este numărul zero sau orice număr natural nenul precedat de semnul „+” sau de semnul „−”.
Mulțimea numerelor întregi se notează cu \(\mathbb{Z}\).
\(\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, \dots \}\)
\(\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, \dots \}\)
Numerele naturale sunt incluse în numerele întregi: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\). (Exemplu: \(+3 = 3\)).
Numerele întregi sunt folosite în viața reală pentru a exprima temperaturi (ex. \(-5^{\circ}\text{C}\) sau \(+20^{\circ}\text{C}\)), altitudini față de nivelul mării (ex. Vârful Omu la \(+2505\text{ m}\)) sau adâncimi (ex. \(-100\text{ m}\)).
Opusul unui număr întreg este numărul cu același modul, dar cu semn schimbat. Două numere opuse sunt simetrice față de originea 0 pe axă.
Opusul lui \(+5\) este \(-5\). Opusul lui \(-7\) este \(+7\). Opusul lui \(0\) este \(0\).
Modulul (valoarea absolută) reprezintă distanța de la origine (0) până la punctul care reprezintă numărul pe axă. Modulul este întotdeauna un număr pozitiv sau zero.
\( |x| = x \), dacă \( x \ge 0 \)
\( |x| = -x \), dacă \( x < 0 \)
Exemple: \( |-3| = 3 \) ; \( |+7| = 7 \) ; \( |0| = 0 \)
\( |x| = -x \), dacă \( x < 0 \)
Exemple: \( |-3| = 3 \) ; \( |+7| = 7 \) ; \( |0| = 0 \)
Reguli de comparare: Pe axă, numărul din dreapta este mereu mai mare decât cel din stânga.
- Orice număr pozitiv este mai mare decât \(0\) și decât orice număr negativ. (\(+3 > -10\))
- Orice număr negativ este mai mic decât \(0\). (\(-5 < 0\))
- Dintre două numere negative, mai mare este cel cu modulul mai mic (cel mai apropiat de 0). (\(-2 > -15\))
Adunarea:
- Același semn: se copiază semnul și se adună modulele.
Ex: \((+2) + (+3) = +5\) ; \((-5) + (-3) = -8\) - Semne diferite: se dă semnul numărului cu modulul mai mare și se scad modulele.
Ex: \((+9) + (-4) = +5\) ; \((+2) + (-7) = -5\) - Suma a două numere opuse este mereu \(0\).
Ex: \( (+7) + (-7) = 0 \)
Scăderea: Se transformă într-o adunare cu opusul scăzătorului.
\( a - b = a + (-b) \)
Exemplu: \((-2) - (+3) = (-2) + (-3) = -5\)
\( a - b = a + (-b) \)
Exemplu: \((-2) - (+3) = (-2) + (-3) = -5\)
Eliminarea parantezelor (Suma algebrică):
- Semnul „+” în fața unei paranteze păstrează semnul numărului din interior: \( +(-5) = -5 \)
- Semnul „-” în fața unei paranteze schimbă semnul numărului din interior (îl transformă în opusul său): \( -(-5) = +5 \) și \( -(+5) = -5 \)
Pentru înmulțire și împărțire se aplică regula semnelor, după care se înmulțesc/împart modulele (numerele propriu-zise).
| Semnele numerelor | Semnul rezultatului | Exemple |
|---|---|---|
| Același semn \((+) \text{ cu } (+)\) sau \((-) \text{ cu } (-)\) |
\(+\) (Pozitiv) | \((-3) \cdot (-4) = +12\) \((-15) : (-3) = +5\) |
| Semne diferite \((+) \text{ cu } (-)\) sau \((-) \text{ cu } (+)\) |
\(-\) (Negativ) | \((+5) \cdot (-2) = -10\) \((+20) : (-4) = -5\) |
Împărțirea a două numere întregi are ca rezultat un număr întreg doar dacă deîmpărțitul se împarte exact (fără rest) la împărțitor. Nu se poate împărți la \(0\).
Dacă se înmulțește/împarte o inegalitate cu un număr întreg negativ, sensul inegalității se schimbă!
Ex: \( 2 < 5 \). Înmulțim cu \(-1\) \(\Rightarrow -2 > -5\).
Ex: \( 2 < 5 \). Înmulțim cu \(-1\) \(\Rightarrow -2 > -5\).
Puterea reprezintă o înmulțire repetată: \( a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{de\ n\ ori} \), unde \(a\) este baza, iar \(n\) este exponentul.
Semnul puterii unui număr întreg:
- Dacă baza este pozitivă, rezultatul este întotdeauna pozitiv.
- Dacă baza este negativă, rezultatul depinde de exponent:
- Pozitiv, dacă exponentul este par. Ex: \((-3)^2 = +9\)
- Negativ, dacă exponentul este impar. Ex: \((-2)^3 = -8\)
Reguli de calcul cu puteri:
- Înmulțire cu aceeași bază: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
- Împărțire cu aceeași bază: \( a^m : a^n = a^{m-n} \)
- Puterea unei puteri: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
- Puterea unui produs/cât: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) și \( (a : b)^n = a^n : b^n \)
- Convenții: \( a^0 = 1 \) (pentru \( a \neq 0 \)); \( a^1 = a \)
Se efectuează mai întâi ridicările la putere.
Se efectuează înmulțirile și împărțirile, în ordinea în care sunt scrise.
Se efectuează adunările și scăderile, în ordinea în care sunt scrise.
Dacă expresia conține paranteze, se rezolvă mai întâi calculele din parantezele rotunde ( ), apoi cele din parantezele pătrate [ ] și, la final, cele din acolade { }. Parantezele rotunde sunt adesea folosite în \(\mathbb{Z}\) doar pentru a proteja semnul unui număr.
Probleme de antrenament
Ușoară: Efectuați calculele:
a) \(-15 + 7\)
b) \((-8) \cdot (-4)\)
a) \(-15 + 7\)
b) \((-8) \cdot (-4)\)
a) Numerele au semne diferite. Se dă semnul modulului mai mare (al lui \(-15\)) și se scad modulele (\(15 - 7\)).
Rezultat: \(-8\).
b) La înmulțire aplicăm regula semnelor: \((-) \cdot (-) = (+)\).
Rezultat: \(+32\).
Rezultat: \(-8\).
b) La înmulțire aplicăm regula semnelor: \((-) \cdot (-) = (+)\).
Rezultat: \(+32\).
Medie: Scrieți sub forma unei singure puteri, apoi calculați:
\[ [(-2)^3 \cdot (-2)^5] : (-2)^6 \]
Aplicăm regulile de calcul cu puteri.
1. La înmulțire se adună exponenții: \((-2)^3 \cdot (-2)^5 = (-2)^{3+5} = (-2)^8\).
2. La împărțire se scad exponenții: \((-2)^8 : (-2)^6 = (-2)^{8-6} = (-2)^2\).
3. Calculăm puterea rezultată (bază negativă, exponent par \(\rightarrow\) rezultat pozitiv): \((-2)^2 = +4\).
Rezultat final: \(4\).
1. La înmulțire se adună exponenții: \((-2)^3 \cdot (-2)^5 = (-2)^{3+5} = (-2)^8\).
2. La împărțire se scad exponenții: \((-2)^8 : (-2)^6 = (-2)^{8-6} = (-2)^2\).
3. Calculăm puterea rezultată (bază negativă, exponent par \(\rightarrow\) rezultat pozitiv): \((-2)^2 = +4\).
Rezultat final: \(4\).
Dificilă: Calculați respectând ordinea efectuării operațiilor:
\[ -10 - (-3)^2 \cdot [ -4 + (-15) : (+5) ] \]
Se rezolvă pas cu pas, respectând prioritățile:
1. Împărțirea din interiorul parantezei pătrate și ridicarea la putere:
\((-15) : (+5) = -3\)
\((-3)^2 = +9\)
Expresia devine: \(-10 - (+9) \cdot [ -4 + (-3) ]\)
2. Calculul din paranteza pătrată (eliminăm paranteza rotundă interioră):
\([ -4 - 3 ] = -7\)
Expresia devine: \(-10 - (+9) \cdot (-7)\)
3. Înmulțirea prioritară:
\((+9) \cdot (-7) = -63\)
Expresia devine: \(-10 - (-63)\)
4. Transformarea scăderii în adunare:
\(-10 + 63 = +53\)
Rezultat final: \(53\).
1. Împărțirea din interiorul parantezei pătrate și ridicarea la putere:
\((-15) : (+5) = -3\)
\((-3)^2 = +9\)
Expresia devine: \(-10 - (+9) \cdot [ -4 + (-3) ]\)
2. Calculul din paranteza pătrată (eliminăm paranteza rotundă interioră):
\([ -4 - 3 ] = -7\)
Expresia devine: \(-10 - (+9) \cdot (-7)\)
3. Înmulțirea prioritară:
\((+9) \cdot (-7) = -63\)
Expresia devine: \(-10 - (-63)\)
4. Transformarea scăderii în adunare:
\(-10 + 63 = +53\)
Rezultat final: \(53\).
