Cele mai importante aspecte ale lecției
Congruența triunghiurilor oarecare: Demonstrată prin criteriile LUL, ULU sau LLL. Elementele omoloage ale triunghiurilor congruente sunt egale.
Congruența triunghiurilor dreptunghice: Demonstrată mult mai rapid prin criteriile specifice: CC (catete), CU (catetă-unghi), IC (ipotenuză-catetă) și IU (ipotenuză-unghi).
Metoda triunghiurilor congruente: Este calea principală pentru a dovedi că două unghiuri sau două segmente sunt congruente, integrându-le în triunghiuri a căror congruență se poate demonstra.
Proprietăți fundamentale:
Congruența triunghiurilor dreptunghice: Demonstrată mult mai rapid prin criteriile specifice: CC (catete), CU (catetă-unghi), IC (ipotenuză-catetă) și IU (ipotenuză-unghi).
Metoda triunghiurilor congruente: Este calea principală pentru a dovedi că două unghiuri sau două segmente sunt congruente, integrându-le în triunghiuri a căror congruență se poate demonstra.
Proprietăți fundamentale:
- Triunghiul isoscel: Laturi egale \( \iff \) unghiuri la bază egale.
- Bisectoarea: Punctele de pe ea sunt la distanțe egale de laturile unghiului.
- Mediatoarea: Punctele de pe ea sunt la distanțe egale de capetele segmentului.
Două triunghiuri se numesc triunghiuri congruente dacă au toate laturile și toate unghiurile respectiv congruente. Perechile de laturi și unghiuri congruente se numesc elemente omoloage.
Scriem \( \triangle ABC \equiv \triangle A'B'C' \) (citim „triunghiul \( ABC \) este congruent cu triunghiul \( A'B'C' \)”). Ordinea literelor este importantă: vârfurile unghiurilor congruente trebuie să ocupe aceeași poziție.
Pentru a dovedi congruența a două triunghiuri, este suficient să demonstrăm congruența a trei elemente (dintre care cel puțin o latură), folosind criteriile de congruență.
Criteriul LUL (latură-unghi-latură): Două triunghiuri care au două laturi și unghiul determinat de acestea respectiv congruente sunt congruente.
Criteriul ULU (unghi-latură-unghi): Două triunghiuri care au câte o latură și unghiurile alăturate acesteia respectiv congruente sunt congruente.
Criteriul LLL (latură-latură-latură): Două triunghiuri care au laturile respectiv congruente sunt congruente.
Deoarece triunghiurile dreptunghice au deja un unghi congruent (cel drept, de \( 90^\circ \)), sunt suficiente doar două perechi de elemente congruente (dintre care cel puțin o latură) pentru a demonstra congruența.
Criteriul CC (catetă-catetă): Dacă două triunghiuri dreptunghice au catetele respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente (derivat din LUL).
Criteriul CU (catetă-unghi): Dacă două triunghiuri dreptunghice au câte o catetă și câte un unghi ascuțit respectiv congruente, atunci ele sunt congruente (derivat din ULU).
Criteriul IC (ipotenuză-catetă): Dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele și câte o catetă respectiv congruente, atunci sunt congruente.
Criteriul IU (ipotenuză-unghi): Dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele și câte un unghi ascuțit respectiv congruente, atunci sunt congruente.
Fie două triunghiuri dreptunghice \( \triangle ABC \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \)) și \( \triangle MNP \) (\( \measuredangle M = 90^\circ \)). Dacă \( BC \equiv NP \) și \( \measuredangle C \equiv \measuredangle P \), sunt cele două triunghiuri congruente?
Răspuns: Da. Deoarece \( BC \) și \( NP \) sunt ipotenuze, iar \( \measuredangle C \) și \( \measuredangle P \) sunt unghiuri ascuțite, triunghiurile sunt congruente conform criteriului IU (ipotenuză-unghi). Deci \( \triangle ABC \equiv \triangle MNP \).
Metoda triunghiurilor congruente se folosește pentru a demonstra că două segmente sau două unghiuri sunt congruente.
Identificăm două triunghiuri care conțin ca elemente laturile sau unghiurile a căror congruență trebuie demonstrată.
Demonstrăm congruența celor două triunghiuri printr-un criteriu cunoscut (LUL, ULU, LLL, CC, CU, IC, IU).
Din definiția triunghiurilor congruente, deducem că elementele omoloage cerute sunt congruente.
Proprietatea triunghiului isoscel: Un triunghi este isoscel dacă și numai dacă are două unghiuri congruente.
\( AB \equiv AC \iff \measuredangle B \equiv \measuredangle C \)
\( AB \equiv AC \iff \measuredangle B \equiv \measuredangle C \)
Proprietatea punctelor de pe bisectoare: Un punct este situat pe bisectoarea unui unghi dacă și numai dacă este egal depărtat de laturile unghiului.
Proprietatea punctelor de pe mediatoare: Un punct este situat pe mediatoarea unui segment dacă și numai dacă este egal depărtat de capetele segmentului.
Fie un segment \( AB \) și mediatoarea sa, dreapta \( d \). Fie un punct \( M \in d \). Dacă \( MA = 5 \text{ cm} \), cât este lungimea lui \( MB \)?
Răspuns: Conform proprietății mediatoarei, orice punct de pe ea este egal depărtat de capetele segmentului. Astfel, \( MA \equiv MB \), de unde rezultă că \( MB = 5 \text{ cm} \).
Probleme de antrenament
Ușoară: Se consideră triunghiurile \( \triangle DEF \) și \( \triangle XYZ \). Se știe că \( DE \equiv XY \), \( \measuredangle E \equiv \measuredangle Y \) și \( \measuredangle D \equiv \measuredangle X \). Conform cărui criteriu sunt congruente cele două triunghiuri?
Avem o latură (\( DE \equiv XY \)) și unghiurile alăturate ei (\( \measuredangle D, \measuredangle E \), respectiv \( \measuredangle X, \measuredangle Y \)) congruente.
Răspuns: Triunghiurile sunt congruente conform criteriului ULU (unghi-latură-unghi).
Răspuns: Triunghiurile sunt congruente conform criteriului ULU (unghi-latură-unghi).
Medie: Punctul \( P \) este în interiorul unghiului \( \measuredangle AOB \) astfel încât distanța de la \( P \) la semidreapta \( OA \) este de \( 8 \text{ cm} \), iar distanța de la \( P \) la semidreapta \( OB \) este tot de \( 8 \text{ cm} \). Dacă măsura unghiului \( \measuredangle AOP \) este de \( 25^\circ \), care este măsura unghiului \( \measuredangle AOB \)?
Deoarece punctul \( P \) este egal depărtat de laturile unghiului (\( 8 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \)), conform proprietății bisectoarei, \( P \) se află pe bisectoarea unghiului \( \measuredangle AOB \).
Asta înseamnă că semidreapta \( OP \) împarte unghiul \( \measuredangle AOB \) în două unghiuri congruente: \( \measuredangle AOP \equiv \measuredangle BOP \).
Măsura \( \measuredangle AOB = 2 \cdot \measuredangle AOP = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ \).
Asta înseamnă că semidreapta \( OP \) împarte unghiul \( \measuredangle AOB \) în două unghiuri congruente: \( \measuredangle AOP \equiv \measuredangle BOP \).
Măsura \( \measuredangle AOB = 2 \cdot \measuredangle AOP = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ \).
Dificilă: Fie un segment \( AB \). Pe mediatoarea acestui segment se aleg două puncte distincte \( C \) și \( D \). Folosind metoda triunghiurilor congruente, demonstrați că \( \triangle ADC \equiv \triangle BDC \).
Pasul 1: Identificăm triunghiurile \( \triangle ADC \) și \( \triangle BDC \).
Pasul 2: Stabilim congruențele. Deoarece \( C \) aparține mediatoarei lui \( AB \), conform proprietății, deducem \( AC \equiv BC \). Similar, deoarece \( D \) aparține mediatoarei, avem \( AD \equiv BD \).
Latura \( CD \) este comună ambelor triunghiuri, deci \( CD \equiv CD \).
Avem sistemul: \[ \begin{cases} AC \equiv BC \\ AD \equiv BD \\ CD \equiv CD \end{cases} \] Pasul 3: Conform criteriului LLL, concluzionăm că \( \triangle ADC \equiv \triangle BDC \).
Pasul 2: Stabilim congruențele. Deoarece \( C \) aparține mediatoarei lui \( AB \), conform proprietății, deducem \( AC \equiv BC \). Similar, deoarece \( D \) aparține mediatoarei, avem \( AD \equiv BD \).
Latura \( CD \) este comună ambelor triunghiuri, deci \( CD \equiv CD \).
Avem sistemul: \[ \begin{cases} AC \equiv BC \\ AD \equiv BD \\ CD \equiv CD \end{cases} \] Pasul 3: Conform criteriului LLL, concluzionăm că \( \triangle ADC \equiv \triangle BDC \).
