Cele mai importante aspecte ale lecției
Adunarea și scăderea: Se efectuează folosind regulile de la numere întregi (\(a - b = a + (-b)\)). Fracțiile periodice se transformă obligatoriu în fracții ordinare.
Proprietăți: Adunarea este comutativă, asociativă, are pe 0 ca element neutru, iar orice număr are un opus.
Egalități/Inegalități: Se păstrează dacă adunăm sau scădem același număr rațional în ambii membri.
Înmulțirea și împărțirea: Se efectuează ca la fracții, aplicând regula semnelor de la numere întregi (ex: minus ori minus dă plus).
Proprietăți: Adunarea este comutativă, asociativă, are pe 0 ca element neutru, iar orice număr are un opus.
Egalități/Inegalități: Se păstrează dacă adunăm sau scădem același număr rațional în ambii membri.
Înmulțirea și împărțirea: Se efectuează ca la fracții, aplicând regula semnelor de la numere întregi (ex: minus ori minus dă plus).
Adunarea numerelor raționale se efectuează aplicând regulile de la adunarea numerelor întregi: se lucrează cu modulele numerelor, iar semnul rezultatului se stabilește conform regulilor cunoscute.
Dacă într-o sumă apare o fracție zecimală periodică, este obligatoriu ca toate numerele să fie transformate în fracții ordinare înainte de a efectua calculul.
Exemple de calcul:
1. Semne diferite: \( -3,1 + 4,9 = +|4,9 - 3,1| = 1,8 \)
2. Cu fracție periodică: \( \left(-\frac{1}{22}\right) + 1,(18) = \frac{-1}{22} + \frac{13}{11} = \frac{-1 + 26}{22} = \frac{25}{22} \)
1. Semne diferite: \( -3,1 + 4,9 = +|4,9 - 3,1| = 1,8 \)
2. Cu fracție periodică: \( \left(-\frac{1}{22}\right) + 1,(18) = \frac{-1}{22} + \frac{13}{11} = \frac{-1 + 26}{22} = \frac{25}{22} \)
Scăderea se definește cu ajutorul adunării: diferența dintre numărul \(a\) și numărul \(b\) este suma lui \(a\) cu opusul lui \(b\).
\[ a - b = a + (-b) \]
Reguli pentru eliminarea parantezelor:
- Dacă o paranteză este precedată de semnul „+”, se renunță la paranteză, iar termenii din interior se scriu cu semnele lor.
- Dacă o paranteză este precedată de semnul „–”, se renunță la paranteză, iar termenii din interior se scriu cu semne schimbate.
\( (-4,3) + 3 = -|4,3 - 3| = -1,3 \)
Deoarece se reduc la operații cu numere întregi, proprietățile sunt similare:
- Comutativitatea: \( a + b = b + a \)
- Asociativitatea: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
- Element neutru: Numărul 0. \( a + 0 = 0 + a = a \)
- Elemente opuse: Orice număr \(a\) are un opus \(-a\), astfel încât \( a + (-a) = 0 \). (Ex: opusul lui \(-a\) este \(a\)).
Dacă la o egalitate sau o inegalitate adunăm sau scădem același termen, relația se păstrează:
Dacă \( a = b \), atunci \( a + c = b + c \) și \( a - c = b - c \).
Dacă \( a < b \), atunci \( a + c < b + c \) și \( a - c < b - c \).
Dacă \( a = b \), atunci \( a + c = b + c \) și \( a - c = b - c \).
Dacă \( a < b \), atunci \( a + c < b + c \) și \( a - c < b - c \).
Regulile de calcul pentru produsul și câtul fracțiilor se mențin, iar pentru stabilirea semnului se aplică regula semnelor de la numere întregi.
Regula semnelor (la înmulțire și împărțire):
\( (+) \cdot (+) = (+) \) și \( (+) : (+) = (+) \)
\( (-) \cdot (-) = (+) \) și \( (-) : (-) = (+) \)
\( (+) \cdot (-) = (-) \) și \( (+) : (-) = (-) \)
\( (-) \cdot (+) = (-) \) și \( (-) : (+) = (-) \)
\( (+) \cdot (+) = (+) \) și \( (+) : (+) = (+) \)
\( (-) \cdot (-) = (+) \) și \( (-) : (-) = (+) \)
\( (+) \cdot (-) = (-) \) și \( (+) : (-) = (-) \)
\( (-) \cdot (+) = (-) \) și \( (-) : (+) = (-) \)
\( -\frac{9}{8} : \frac{27}{16} = -\frac{9}{8} \cdot \frac{16}{27} = -\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = -\frac{2}{3} \)
Exerciții
Ușoară: Calculează suma: \( (-3,4) + (-2,6) \).
Ambele numere sunt negative, deci adunăm modulele și păstrăm semnul minus:
\[ -(3,4 + 2,6) = -6,0 = -6 \]
Medie: Efectuează calculul: \( 0,(3) - \frac{5}{6} \).
Deoarece avem o fracție zecimală periodică, o transformăm în fracție ordinară:
\( 0,(3) = \frac{3}{9}^{(3} = \frac{1}{3} \)
Calculăm diferența aducând la același numitor (care este 6): \[ ^{2)}\frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} - \frac{5}{6} = \frac{2 - 5}{6} = \frac{-3}{6}^{(3} = -\frac{1}{2} \]
\( 0,(3) = \frac{3}{9}^{(3} = \frac{1}{3} \)
Calculăm diferența aducând la același numitor (care este 6): \[ ^{2)}\frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} - \frac{5}{6} = \frac{2 - 5}{6} = \frac{-3}{6}^{(3} = -\frac{1}{2} \]
Dificilă: Calculează: \( \left( -\frac{14}{15} \right) : \left( -\frac{7}{5} \right) \).
Aplicăm regula semnelor: \( (-) : (-) = (+) \).
Transformăm împărțirea în înmulțire cu inversul celui de-al doilea număr: \[ +\left( \frac{14}{15} \cdot \frac{5}{7} \right) \] Simplificăm (14 cu 7 se împart la 7; 15 cu 5 se împart la 5): \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{2}{3} \]
Transformăm împărțirea în înmulțire cu inversul celui de-al doilea număr: \[ +\left( \frac{14}{15} \cdot \frac{5}{7} \right) \] Simplificăm (14 cu 7 se împart la 7; 15 cu 5 se împart la 5): \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{2}{3} \]
