Cele mai importante aspecte ale lecției
- Mediatoarea: Dreapta perpendiculară pe un segment care trece exact prin mijlocul acestuia.
- Proprietate fundamentală: Orice punct de pe mediatoare formează distanțe egale până la capetele segmentului.
- Simetria: Două puncte sunt simetrice față de o dreaptă dacă acea dreaptă este mediatoarea segmentului format de cele două puncte.
- Axe de simetrie: Mediatoarea este axa de simetrie pentru un segment, iar bisectoarea este axa de simetrie pentru un unghi. Figurile simetrice își păstrează lungimea, respectiv măsura.
Mediatoarea unui segment este dreapta care trece prin mijlocul segmentului și este perpendiculară pe acesta.
Teorema mediatoarei: Orice punct situat pe mediatoarea unui segment este egal depărtat (echidistant) de capetele acelui segment.
Reciproca: Orice punct din plan, egal depărtat de capetele unui segment, se află pe mediatoarea acelui segment.
Reciproca: Orice punct din plan, egal depărtat de capetele unui segment, se află pe mediatoarea acelui segment.
Un punct se află pe mediatoarea unui segment dacă și numai dacă este egal depărtat de capetele acestuia.
Fie un segment \( AB \) și o dreaptă \( d \) mediatoarea sa. Dacă un punct \( P \) aparține dreptei \( d \) și distanța de la \( P \) la punctul \( A \) este de \( 7 \text{ cm} \), care este lungimea segmentului \( PB \)?
Conform teoremei mediatoarei, orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului.
Prin urmare, \( PA = PB \).
Deoarece \( PA = 7 \text{ cm} \), rezultă că \( PB = 7 \text{ cm} \).
Pentru a construi mediatoarea unui segment \( AB \) folosind doar rigla negradată și compasul, se parcurg următorii pași:
Se ia o deschidere a compasului egală cu lungimea segmentului \( AB \).
Se trasează un arc de cerc (sau un cerc complet) cu centrul în extremitatea \( A \).
Cu aceeași deschidere a compasului, se trasează un cerc cu centrul în extremitatea \( B \). Cele două cercuri se intersectează în două puncte, notate \( M \) și \( N \).
Se trasează dreapta determinată de punctele \( M \) și \( N \). Această dreaptă este mediatoarea segmentului \( AB \).
Punctele \( M \) și \( N \) sunt egal depărtate de capetele \( A \) și \( B \) deoarece segmentele \( AM, AN, BM, BN \) reprezintă razele celor două cercuri identice (au lungimea egală cu \( AB \)). Fiind egal depărtate de capete, \( M \) și \( N \) se află pe mediatoare.
De ce este necesar ca deschiderea compasului să fie mai mare decât jumătate din lungimea segmentului \( AB \) (în cazul nostru, s-a folosit chiar lungimea \( AB \))?
Dacă deschiderea compasului ar fi mai mică decât jumătatea segmentului \( AB \), cele două cercuri nu s-ar mai intersecta, iar punctele \( M \) și \( N \) nu ar mai putea fi determinate.
Fie un punct \( A \) și o dreaptă \( d \). Simetricul punctului \( A \) față de dreapta \( d \) este acel punct \( A' \) pentru care dreapta \( d \) reprezintă mediatoarea segmentului \( AA' \).
Excepție: Dacă \( A \) se află deja pe dreapta \( d \), simetricul său este chiar punctul \( A \).
Excepție: Dacă \( A \) se află deja pe dreapta \( d \), simetricul său este chiar punctul \( A \).
Pentru a construi simetricul \( A' \) al unui punct \( A \) (\( A \notin d \)):
1. Se construiește perpendiculara din \( A \) pe dreapta \( d \).
2. Se notează intersecția cu \( O \) (piciorul perpendicularei).
3. Se prelungește segmentul dincolo de \( d \) până la punctul \( A' \), astfel încât \( AO = OA' \).
Proprietăți de simetrie:
- Simetricul unui segment față de o dreaptă este un segment cu aceeași lungime.
- Simetricul unui unghi față de o dreaptă este un unghi cu aceeași măsură.
Axe de simetrie uzuale:
- Mediatoarea unui segment este axa de simetrie a acelui segment.
- Bisectoarea unui unghi este axa de simetrie a acelui unghi.
Distanța de la un punct \( X \) la o dreaptă \( a \) este de \( 4 \text{ cm} \). Dacă \( Y \) este simetricul lui \( X \) față de dreapta \( a \), care este distanța dintre punctele \( X \) și \( Y \)?
Deoarece \( Y \) este simetricul lui \( X \) față de \( a \), dreapta \( a \) este mediatoarea segmentului \( XY \). Aceasta înseamnă că intersecția lor se află la mijlocul lui \( XY \). Distanța de la \( X \) la \( a \) (jumătate din segment) este \( 4 \text{ cm} \), deci distanța totală \( XY = 4 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \).
Exerciții
Ușoară: Se dorește construirea mediatoarei unui segment \( MN \) de lungime \( 12 \text{ cm} \). Dreapta construită intersectează segmentul \( MN \) în punctul \( O \). Care sunt lungimile segmentelor \( MO \) și \( ON \), și ce măsură are unghiul format de mediatoare cu segmentul \( MN \)?
Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului, așadar \( MO = ON = 12 \text{ cm} : 2 = 6 \text{ cm} \).
Prin definiție, mediatoarea este perpendiculară pe segment, deci unghiul format are măsura de \( 90^\circ \).
Prin definiție, mediatoarea este perpendiculară pe segment, deci unghiul format are măsura de \( 90^\circ \).
Medie: Un punct \( K \) se află pe mediatoarea unui segment \( EF \). Se știe că lungimea segmentului \( KE \) poate fi exprimată prin formula \( 2x + 3 \), iar lungimea lui \( KF \) prin formula \( 4x - 5 \). Aflați valoarea lui \( x \) și lungimea segmentului \( KE \).
Deoarece \( K \) se află pe mediatoarea segmentului \( EF \), conform teoremei mediatoarei, el este egal depărtat de capetele segmentului. Astfel:
\[ KE = KF \]
\[ 2x + 3 = 4x - 5 \]
Mutăm termenii cu \( x \) pe o parte și constantele pe cealaltă:
\[ 3 + 5 = 4x - 2x \]
\[ 8 = 2x \implies x = 4 \]
Calculăm lungimea lui \( KE \):
\[ KE = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 \]
Răspuns: \( x = 4 \), iar lungimea este \( 11 \).
Dificilă: Fie \( A \) și \( B \) două puncte simetrice față de o dreaptă \( d \). Fie un punct oarecare \( M \) situat pe dreapta \( d \). Demonstrați că triunghiul \( MAB \) este un triunghi isoscel.
Ipoteză: \( A \) și \( B \) sunt simetrice față de \( d \); \( M \in d \).
Concluzie: \( \triangle MAB \) este isoscel.
Demonstrație: Din definiția simetriei față de o dreaptă, faptul că \( A \) și \( B \) sunt simetrice față de \( d \) înseamnă că dreapta \( d \) este mediatoarea segmentului \( AB \).
Deoarece punctul \( M \) se află pe mediatoarea \( d \), aplicăm teorema mediatoarei: punctul \( M \) este egal depărtat de capetele segmentului \( AB \).
Așadar, \( MA = MB \).
Într-un triunghi, dacă două laturi sunt congruente (\( MA \equiv MB \)), atunci triunghiul este isoscel. Prin urmare, \( \triangle MAB \) este isoscel de bază \( AB \).
Concluzie: \( \triangle MAB \) este isoscel.
Demonstrație: Din definiția simetriei față de o dreaptă, faptul că \( A \) și \( B \) sunt simetrice față de \( d \) înseamnă că dreapta \( d \) este mediatoarea segmentului \( AB \).
Deoarece punctul \( M \) se află pe mediatoarea \( d \), aplicăm teorema mediatoarei: punctul \( M \) este egal depărtat de capetele segmentului \( AB \).
Așadar, \( MA = MB \).
Într-un triunghi, dacă două laturi sunt congruente (\( MA \equiv MB \)), atunci triunghiul este isoscel. Prin urmare, \( \triangle MAB \) este isoscel de bază \( AB \).
