Cele mai importante aspecte ale lecției
Mulțimea este o colecție de elemente (\( x \in A \)). Există mulțimi finite (ex. divizorii unui număr) și infinite (ex. \( \mathbb{N} \) sau multiplii unui număr).
Submulțimea: \( A \subset B \) înseamnă că toate elementele lui A sunt și în B. Numărul submulțimilor este \( 2^n \), iar \( \emptyset \) este submulțime pentru orice mulțime.
Operații de bază:
Submulțimea: \( A \subset B \) înseamnă că toate elementele lui A sunt și în B. Numărul submulțimilor este \( 2^n \), iar \( \emptyset \) este submulțime pentru orice mulțime.
Operații de bază:
- Reuniunea (\( \cup \)): reunește toate elementele (\(x \in A\) sau \(x \in B\)).
- Intersecția (\( \cap \)): doar elementele comune (\(x \in A\) și \(x \in B\)). Dacă nu au elemente comune, sunt disjuncte (\( \emptyset \)).
- Diferența (\( \setminus \)): doar elementele din prima care nu sunt în a doua (\(x \in A\) și \(x \notin B\)).
Mulțimea este o colecție de obiecte bine determinate și distincte, numite elementele mulțimii. Se notează cu litere mari (ex. \( A, B, M \)).
Dacă un element \( x \) face parte dintr-o mulțime \( A \), se scrie \( x \in A \) (se citește „\( x \) aparține mulțimii \( A \)”).
Dacă nu face parte, se scrie \( x \notin A \) („\( x \) nu aparține mulțimii \( A \)”).
Dacă nu face parte, se scrie \( x \notin A \) („\( x \) nu aparține mulțimii \( A \)”).
O mulțime poate fi reprezentată în trei moduri:
- Enumerarea elementelor: se scriu între acolade, despărțite prin virgulă. Ex: \( A = \{1, 2, 3\} \).
- Diagrama Venn-Euler: desenarea unei curbe închise în interiorul căreia se scriu elementele.
- Proprietatea caracteristică: se specifică o proprietate comună a elementelor. Ex: \( A = \{x \mid x \text{ număr natural și } x \le 3\} \).
Mulțimea care nu are niciun element se numește mulțimea vidă și se notează cu simbolul \( \emptyset \).
Numărul de elemente ale unei mulțimi se numește cardinalul mulțimii și se notează cu \(\text{card } A\).
O mulțime poate fi numerică (dacă elementele sunt numere) sau nenumerică (dacă elementele nu sunt numere).
O mulțime este finită dacă are un număr determinat (finit) de elemente, și infinită dacă are o infinitate de elemente.
Mulțimea numerelor naturale (infinită) se notează cu \( \mathbb{N} \):
\[ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \]
Mulțimea numerelor naturale nenule (fără zero) se notează cu \( \mathbb{N}^* \):
\[ \mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, 4, \dots\} \]
Pentru un număr natural \( n \), numărul \( n + 1 \) se numește succesorul său.
Divizori și multipli: Dacă \( a = b \cdot c \) (unde \( a, b, c \) sunt numere naturale, \( b \neq 0 \)), atunci \( b \) este divizor al lui \( a \), iar \( a \) este multiplu al lui \( b \).
- Mulțimea divizorilor unui număr \( p \) (\( D_p \)) este o mulțime finită.
- Mulțimea multiplilor unui număr \( p \) (\( M_p \)) este o mulțime infinită.
Două mulțimi sunt egale (\( A = B \)) dacă au exact aceleași elemente. Dacă diferă prin cel puțin un element, ele nu sunt egale (\( A \neq B \)).
O mulțime \( C \) este inclusă în mulțimea \( D \), dacă orice element al lui \( C \) este și element al lui \( D \). Spunem că \( C \) este o submulțime a lui \( D \).
| Notație | Semnificație |
|---|---|
| \( A \subset B \) | Mulțimea \( A \) este inclusă în \( B \) (\( A \) este submulțime a lui \( B \)). |
| \( B \supset A \) | Mulțimea \( B \) include mulțimea \( A \). |
| \( A \not\subset B \) | Mulțimea \( A \) nu este inclusă în \( B \) (există cel puțin un element în \( A \) care nu e în \( B \)). |
Proprietățile incluziunii:
- Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi: \( \emptyset \subset A \).
- Orice mulțime este inclusă în ea însăși: \( A \subset A \).
- Dacă \( A \subset B \) și \( B \subset A \), atunci \( A = B \).
Dacă o mulțime are \( n \) elemente (\( \text{card } A = n \)), atunci numărul total de submulțimi ale ei este \( 2^n \).
Prin operații cu două mulțimi obținem o nouă mulțime. Cele mai importante operații sunt: reuniunea, intersecția și diferența.
Reuniunea (\( \cup \)): Elementele care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimi.
\[ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ sau } x \in B\} \]
(Elementele comune se scriu o singură dată.)
Intersecția (\( \cap \)): Elementele care sunt comune ambelor mulțimi.
\[ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ și } x \in B\} \]
Dacă intersecția a două mulțimi este mulțimea vidă (\( A \cap B = \emptyset \)), ele se numesc mulțimi disjuncte.
Diferența (\( \setminus \)): Elementele care aparțin primei mulțimi, dar nu aparțin celei de-a doua.
\[ A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ și } x \notin B\} \]
Fie \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) și \( B = \{3, 4, 5\} \).
- \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
- \( A \cap B = \{3, 4\} \)
- \( A \setminus B = \{1, 2\} \)
- \( B \setminus A = \{5\} \)
Legile de absorbție: Oricare ar fi mulțimile \( A \) și \( B \), au loc egalitățile:
- \( A \cap (B \cup A) = A \)
- \( B \cup (A \cap B) = B \)
Principiul includerii și excluderii (pentru cardinal):
\[ \text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) \]
Alte relații importante pentru cardinal:
- Dacă \( A \) și \( B \) sunt disjuncte, \( \text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) \).
- \( \text{card}(A \setminus B) = \text{card}(A) - \text{card}(A \cap B) \).
Probleme practice
Ușoară: Scrieți mulțimea \( M \) definită prin proprietatea caracteristică: \( M = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 4\} \) enumerând elementele acesteia. Apoi stabiliți valoarea de adevăr a propoziției: \( 5 \in M \).
Numerele naturale mai mici sau egale cu 4 sunt 0, 1, 2, 3 și 4.
Deci, \( M = \{0, 1, 2, 3, 4\} \).
Deoarece 5 nu se află în mulțimea \( M \), propoziția „\( 5 \in M \)” este falsă (\( 5 \notin M \)).
Deci, \( M = \{0, 1, 2, 3, 4\} \).
Deoarece 5 nu se află în mulțimea \( M \), propoziția „\( 5 \in M \)” este falsă (\( 5 \notin M \)).
Medie: Fie mulțimile \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) și \( B = \{2, 4, 6, 8\} \). Calculați: \( A \cup B \), \( A \cap B \), \( A \setminus B \) și stabiliți câte submulțimi are mulțimea \( A \cap B \).
\( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\} \) (elementele luate o singură dată).
\( A \cap B = \{2, 4, 6\} \) (elementele comune).
\( A \setminus B = \{1, 3, 5\} \) (elementele din A care nu sunt în B).
Cardinalul mulțimii \( A \cap B \) este 3. Numărul de submulțimi se calculează cu formula \( 2^n \), deci \( 2^3 = 8 \) submulțimi.
\( A \cap B = \{2, 4, 6\} \) (elementele comune).
\( A \setminus B = \{1, 3, 5\} \) (elementele din A care nu sunt în B).
Cardinalul mulțimii \( A \cap B \) este 3. Numărul de submulțimi se calculează cu formula \( 2^n \), deci \( 2^3 = 8 \) submulțimi.
Dificilă: Într-o clasă sunt 25 de elevi. Dintre aceștia, 15 joacă fotbal, iar 12 joacă baschet. Știind că fiecare elev joacă cel puțin un sport, câți elevi joacă atât fotbal, cât și baschet?
Fie \( F \) mulțimea elevilor care joacă fotbal și \( B \) mulțimea elevilor care joacă baschet.
Se cunoaște: \( \text{card}(F \cup B) = 25 \) (toți elevii), \( \text{card}(F) = 15 \), \( \text{card}(B) = 12 \).
Folosind formula cardinalului: \( \text{card}(F \cup B) = \text{card}(F) + \text{card}(B) - \text{card}(F \cap B) \).
\( 25 = 15 + 12 - \text{card}(F \cap B) \)
\( 25 = 27 - \text{card}(F \cap B) \implies \text{card}(F \cap B) = 2 \).
Răspuns: 2 elevi joacă ambele sporturi.
Se cunoaște: \( \text{card}(F \cup B) = 25 \) (toți elevii), \( \text{card}(F) = 15 \), \( \text{card}(B) = 12 \).
Folosind formula cardinalului: \( \text{card}(F \cup B) = \text{card}(F) + \text{card}(B) - \text{card}(F \cap B) \).
\( 25 = 15 + 12 - \text{card}(F \cap B) \)
\( 25 = 27 - \text{card}(F \cap B) \implies \text{card}(F \cap B) = 2 \).
Răspuns: 2 elevi joacă ambele sporturi.
