Cele mai importante aspecte ale lecției
Când două mărimi sunt invers proporționale, creșterea uneia duce la scăderea celeilalte de același număr de ori. Relația matematică de bază este produsul constant: \( a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2 = k \).
Pentru a împărți un număr în părți invers proporționale, scriem necunoscutele sub formă de fracție cu numărătorul \( k \) (ex. \( \frac{k}{x} \)) și folosim suma lor pentru a determina pe \( k \).
Pentru aflarea unei a patra valori necunoscute dintr-o relație de proporționalitate, se poate folosi regula de trei simplă, organizând datele și rezolvând ecuația proporției rezultate.
Două mărimi se numesc mărimi invers proporționale dacă depind una de alta, astfel încât atunci când măsura uneia se mărește (sau se micșorează) de un număr de ori, măsura celeilalte se micșorează (sau se mărește) de același număr de ori.
Dacă două mărimi sunt invers proporționale, produsul măsurilor lor este o constantă \( k \) nenulă:
\[ a \cdot b = k \]
unde \( a \) și \( b \) sunt două măsuri corespunzătoare celor două mărimi, iar \( k \neq 0 \).
Două sau mai multe numere \( a_1, a_2, a_3, \dots, a_n \) sunt invers proporționale cu numerele \( b_1, b_2, b_3, \dots, b_n \), dacă:
\[ a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2 = a_3 \cdot b_3 = \dots = a_n \cdot b_n = k \]
Numerele \( a_1, a_2, \dots, a_n \) sunt invers proporționale cu \( b_1, b_2, \dots, b_n \) dacă sunt direct proporționale cu inversele acestora, adică \( \frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \dots, \frac{1}{b_n} \).
\[ \frac{a_1}{\frac{1}{b_1}} = \frac{a_2}{\frac{1}{b_2}} = \dots = \frac{a_n}{\frac{1}{b_n}} = k \]
Dacă notăm cu \( n \) numărul de tractoare de același tip și cu \( t \) timpul în care ară o suprafață agricolă, se poate deduce o relație constantă, de exemplu \( n \cdot t = 63 \).
Dacă numărul de tractoare crește, timpul necesar scade proporțional. Pentru \( n = 3 \) tractoare, \( 3 \cdot t = 63 \), deci \( t = 21 \) ore. Dacă \( t = 9 \) ore, \( n \cdot 9 = 63 \), deci sunt necesare \( n = 7 \) tractoare.
Dacă numărul de tractoare crește, timpul necesar scade proporțional. Pentru \( n = 3 \) tractoare, \( 3 \cdot t = 63 \), deci \( t = 21 \) ore. Dacă \( t = 9 \) ore, \( n \cdot 9 = 63 \), deci sunt necesare \( n = 7 \) tractoare.
Pentru a împărți o sumă sau o lungime în părți invers proporționale cu anumite numere, se exprimă fiecare parte în funcție de constanta de proporționalitate \( k \), apoi se rezolvă ecuația sumei.
Se scrie egalitatea produselor dintre părțile necunoscute și numerele date, egalându-le cu \( k \).
Se exprimă fiecare necunoscută sub formă de fracție (ex: \( a = \frac{k}{număr} \)).
Se înlocuiesc necunoscutele în suma totală, se aduce la același numitor și se află \( k \).
Se calculează fiecare parte folosind valoarea găsită pentru \( k \).
Un segment \( AB \) de 8 cm este împărțit de punctele \( P \) și \( Q \) în segmentele \( AP, PQ, QB \), ale căror lungimi sunt invers proporționale cu 2, 5 și 10.
Notăm \( AP = a, PQ = b, QB = c \).
\( a \cdot 2 = b \cdot 5 = c \cdot 10 = k \Rightarrow a = \frac{k}{2}, b = \frac{k}{5}, c = \frac{k}{10} \)
Cum \( a + b + c = 8 \), rezultă \( \frac{k}{2} + \frac{k}{5} + \frac{k}{10} = 8 \).
Aducând la același numitor (10): \( \frac{5k}{10} + \frac{2k}{10} + \frac{k}{10} = 8 \Rightarrow \frac{8k}{10} = 8 \Rightarrow k = 10 \).
Prin urmare: \( a = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}, b = \frac{10}{5} = 2 \text{ cm}, c = \frac{10}{10} = 1 \text{ cm} \).
Notăm \( AP = a, PQ = b, QB = c \).
\( a \cdot 2 = b \cdot 5 = c \cdot 10 = k \Rightarrow a = \frac{k}{2}, b = \frac{k}{5}, c = \frac{k}{10} \)
Cum \( a + b + c = 8 \), rezultă \( \frac{k}{2} + \frac{k}{5} + \frac{k}{10} = 8 \).
Aducând la același numitor (10): \( \frac{5k}{10} + \frac{2k}{10} + \frac{k}{10} = 8 \Rightarrow \frac{8k}{10} = 8 \Rightarrow k = 10 \).
Prin urmare: \( a = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}, b = \frac{10}{5} = 2 \text{ cm}, c = \frac{10}{10} = 1 \text{ cm} \).
Regula de trei simplă se aplică atunci când se cunosc trei valori ale două mărimi între care există o relație de proporționalitate și se cere determinarea celei de-a patra valori.
Un scuter consumă 1,8 litri de carburant pentru 50 km. Vrem să aflăm consumul \( x \) necesar pentru 75 km.
Admițând că cele două mărimi (litri și kilometri) sunt direct proporționale, avem: \[ \frac{1,8}{x} = \frac{50}{75} \] De unde extragem necunoscuta: \[ x = \frac{1,8 \cdot 75}{50} = 2,7 \text{ litri} \]
Admițând că cele două mărimi (litri și kilometri) sunt direct proporționale, avem: \[ \frac{1,8}{x} = \frac{50}{75} \] De unde extragem necunoscuta: \[ x = \frac{1,8 \cdot 75}{50} = 2,7 \text{ litri} \]
Probleme de antrenament
Ușoară: Prețul unui tip de becuri economice este invers proporțional cu numărul de becuri cumpărate. Știind că pentru \( 4 \) becuri prețul unitar este de \( 7 \) lei, aflați prețul dacă se cumpără \( 28 \) de becuri.
Fie \( n \) numărul de becuri și \( p \) prețul. Ele sunt invers proporționale, deci \( n \cdot p = k \).
Din datele problemei: \( 4 \cdot 7 = 28 \Rightarrow k = 28 \).
Pentru \( 28 \) de becuri: \( 28 \cdot p = 28 \Rightarrow p = 1 \) leu.
Din datele problemei: \( 4 \cdot 7 = 28 \Rightarrow k = 28 \).
Pentru \( 28 \) de becuri: \( 28 \cdot p = 28 \Rightarrow p = 1 \) leu.
Medie: Numerele \( x, y, z \) sunt invers proporționale cu numerele \( 4, 5 \), respectiv \( 10 \). Determinați numerele știind că suma lor este egală cu \( 22 \).
Din proporționalitatea inversă, obținem:
\[ x \cdot 4 = y \cdot 5 = z \cdot 10 = k \]
Astfel: \( x = \frac{k}{4} \), \( y = \frac{k}{5} \), \( z = \frac{k}{10} \).
Se cunoaște că \( x + y + z = 22 \). Înlocuim: \[ \frac{k}{4} + \frac{k}{5} + \frac{k}{10} = 22 \] Numitorul comun este 20. Amplificăm fracțiile: \[ \frac{5k}{20} + \frac{4k}{20} + \frac{2k}{20} = 22 \Rightarrow \frac{11k}{20} = 22 \] \[ 11k = 22 \cdot 20 \Rightarrow 11k = 440 \Rightarrow k = 40 \] Calculăm valorile: \[ x = \frac{40}{4} = 10; \quad y = \frac{40}{5} = 8; \quad z = \frac{40}{10} = 4 \]
Se cunoaște că \( x + y + z = 22 \). Înlocuim: \[ \frac{k}{4} + \frac{k}{5} + \frac{k}{10} = 22 \] Numitorul comun este 20. Amplificăm fracțiile: \[ \frac{5k}{20} + \frac{4k}{20} + \frac{2k}{20} = 22 \Rightarrow \frac{11k}{20} = 22 \] \[ 11k = 22 \cdot 20 \Rightarrow 11k = 440 \Rightarrow k = 40 \] Calculăm valorile: \[ x = \frac{40}{4} = 10; \quad y = \frac{40}{5} = 8; \quad z = \frac{40}{10} = 4 \]
Dificilă: Trei copii cu vârstele de 7 ani, 9 ani, respectiv 12 ani au hotărât ca suma de 1700 de lei primită din colindat să se împartă în părți invers proporționale cu vârstele lor.
a) Fără a efectua vreun calcul, precizează care copil va primi cea mai mare sumă.
b) Calculează câți lei primește fiecare copil.
a) Fără a efectua vreun calcul, precizează care copil va primi cea mai mare sumă.
b) Calculează câți lei primește fiecare copil.
a) Deoarece mărimile sunt invers proporționale, valoarea cea mai mică a unei mărimi corespunde valorii celei mai mari a celeilalte mărimi. Prin urmare, copilul cu vârsta cea mai mică (cel de 7 ani) va primi cea mai mare sumă.
b) Notăm sumele cu \( a \) (pentru 7 ani), \( b \) (pentru 9 ani) și \( c \) (pentru 12 ani). \[ a \cdot 7 = b \cdot 9 = c \cdot 12 = k \Rightarrow a = \frac{k}{7}, b = \frac{k}{9}, c = \frac{k}{12} \] \( a + b + c = 1700 \Rightarrow \frac{k}{7} + \frac{k}{9} + \frac{k}{12} = 1700 \)
Cel mai mic multiplu comun pentru 7, 9 și 12 este 252. Amplificăm: \[ \frac{36k}{252} + \frac{28k}{252} + \frac{21k}{252} = 1700 \Rightarrow \frac{85k}{252} = 1700 \] \[ 85k = 1700 \cdot 252 \Rightarrow k = \frac{1700}{85} \cdot 252 \Rightarrow k = 20 \cdot 252 = 5040 \] Calculăm sumele:
\( a = \frac{5040}{7} = 720 \) lei (copilul de 7 ani)
\( b = \frac{5040}{9} = 560 \) lei (copilul de 9 ani)
\( c = \frac{5040}{12} = 420 \) lei (copilul de 12 ani)
b) Notăm sumele cu \( a \) (pentru 7 ani), \( b \) (pentru 9 ani) și \( c \) (pentru 12 ani). \[ a \cdot 7 = b \cdot 9 = c \cdot 12 = k \Rightarrow a = \frac{k}{7}, b = \frac{k}{9}, c = \frac{k}{12} \] \( a + b + c = 1700 \Rightarrow \frac{k}{7} + \frac{k}{9} + \frac{k}{12} = 1700 \)
Cel mai mic multiplu comun pentru 7, 9 și 12 este 252. Amplificăm: \[ \frac{36k}{252} + \frac{28k}{252} + \frac{21k}{252} = 1700 \Rightarrow \frac{85k}{252} = 1700 \] \[ 85k = 1700 \cdot 252 \Rightarrow k = \frac{1700}{85} \cdot 252 \Rightarrow k = 20 \cdot 252 = 5040 \] Calculăm sumele:
\( a = \frac{5040}{7} = 720 \) lei (copilul de 7 ani)
\( b = \frac{5040}{9} = 560 \) lei (copilul de 9 ani)
\( c = \frac{5040}{12} = 420 \) lei (copilul de 12 ani)
