Cele mai importante aspecte ale lecției
Bisectoarea împarte un unghi în două părți cu măsură egală (Ex: bisectoarea unui unghi de \( 80^\circ \) creează două unghiuri adiacente de câte \( 40^\circ \)). Aceasta este axă de simetrie pentru unghi. Dacă lucrăm cu jumătăți, putem reface unghiul complet înmulțind măsura cu 2 (\( \measuredangle \text{Total} = 2 \cdot \measuredangle \text{Jumătate} \)). Construcția ei precisă se face fie împărțind măsura la 2 cu raportorul, fie folosind compasul pentru a găsi punctul de intersecție la distanțe egale de laturi.
Bisectoarea unui unghi este semidreapta interioară unghiului, cu originea în vârful unghiului, care formează cu laturile acestuia două unghiuri congruente (egale ca măsură).
Bisectoarea oricărui unghi este axa de simetrie a unghiului respectiv.
Orice unghi propriu (diferit de unghiul nul și de cel alungit) are o singură bisectoare.
În limbaj practic, spunem că bisectoarea împarte unghiul exact în jumătate.
Dacă măsura unghiului \( \measuredangle AOC \) este de \( 60^\circ \), iar semidreapta \( OB \) este bisectoarea sa, atunci se formează două unghiuri cu măsuri egale:
\[ \measuredangle AOB = \measuredangle BOC = 60^\circ : 2 = 30^\circ \]
Măsurile unghiurilor formate de bisectoare depind de tipul unghiului inițial:
- Unghiul drept: Cele două unghiuri formate de bisectoarea sa sunt complementare, iar fiecare are măsura egală cu \( 90^\circ : 2 = 45^\circ \).
- Unghiul alungit: Cele două unghiuri formate de bisectoarea sa sunt suplementare, iar fiecare are măsura egală cu \( 180^\circ : 2 = 90^\circ \) (bisectoarea este perpendiculară pe laturile unghiului).
Bisectoarea poate fi construită folosind instrumente geometrice specifice, prin două metode principale:
Construcția cu rigla și raportorul
- Se măsoară unghiul cu raportorul.
- Se calculează jumătate din măsura obținută.
- Se așază raportorul pe latura unghiului și se marchează punctul corespunzător măsurii înjumătățite.
- Cu ajutorul riglei, se trasează semidreapta din vârful unghiului prin punctul marcat.
Construcția cu rigla și compasul
- Cu vârful compasului în originea unghiului, se trasează un arc de cerc care taie ambele laturi (notăm punctele de intersecție cu \( C \) și \( D \)).
- Păstrând aceeași deschidere a compasului, se pune vârful pe rând în \( C \) și în \( D \), trasând două arce de cerc în interiorul unghiului.
- Punctul în care se intersectează cele două arce interioare se unește cu rigla cu vârful unghiului. Semidreapta obținută este bisectoarea.
Exerciții
Ușoară: Se consideră unghiul \( \measuredangle AOB \) cu măsura de \( 120^\circ 48' \). Se notează cu \( OM \) bisectoarea sa. Calculează măsura unghiului \( \measuredangle AOM \).
Deoarece \( OM \) este bisectoare, ea împarte unghiul în două unghiuri cu măsuri egale.
\[ \measuredangle AOM = \measuredangle AOB : 2 \]
\[ \measuredangle AOM = 120^\circ 48' : 2 = 60^\circ 24' \]
Răspuns: Măsura unghiului \( \measuredangle AOM \) este de \( 60^\circ 24' \).
Medie: Unghiurile \( \measuredangle MON \) și \( \measuredangle NOP \) sunt adiacente. Semidreapta \( OA \) este bisectoarea unghiului \( \measuredangle MON \). Știind că \( \measuredangle MOA = 35^\circ \) și \( \measuredangle NOP = 50^\circ \), calculează măsura unghiului total \( \measuredangle MOP \).
Dacă \( OA \) este bisectoarea \( \measuredangle MON \), atunci \( \measuredangle MON = 2 \cdot \measuredangle MOA \).
\[ \measuredangle MON = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ \]
Deoarece unghiurile sunt adiacente, măsura unghiului total este suma lor:
\[ \measuredangle MOP = \measuredangle MON + \measuredangle NOP = 70^\circ + 50^\circ = 120^\circ \]
Răspuns: \( \measuredangle MOP = 120^\circ \).
Dificilă: Se consideră un unghi drept \( \measuredangle AOB \). În interiorul său se consideră semidreapta \( OM \), astfel încât \( \measuredangle AOM = 30^\circ \). Se notează cu \( ON \) bisectoarea unghiului \( \measuredangle BOM \). Calculează măsura unghiului \( \measuredangle AON \).
1. Deoarece \( \measuredangle AOB \) este unghi drept, măsura sa este de \( 90^\circ \).
2. Calculăm unghiul \( \measuredangle BOM \): \[ \measuredangle BOM = \measuredangle AOB - \measuredangle AOM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] 3. \( ON \) este bisectoarea \( \measuredangle BOM \), deci: \[ \measuredangle BON = \measuredangle NOM = 60^\circ : 2 = 30^\circ \] 4. Calculăm \( \measuredangle AON \), care este format din \( \measuredangle AOM \) și \( \measuredangle NOM \): \[ \measuredangle AON = \measuredangle AOM + \measuredangle NOM = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \] Răspuns: Măsura unghiului \( \measuredangle AON \) este de \( 60^\circ \).
2. Calculăm unghiul \( \measuredangle BOM \): \[ \measuredangle BOM = \measuredangle AOB - \measuredangle AOM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] 3. \( ON \) este bisectoarea \( \measuredangle BOM \), deci: \[ \measuredangle BON = \measuredangle NOM = 60^\circ : 2 = 30^\circ \] 4. Calculăm \( \measuredangle AON \), care este format din \( \measuredangle AOM \) și \( \measuredangle NOM \): \[ \measuredangle AON = \measuredangle AOM + \measuredangle NOM = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \] Răspuns: Măsura unghiului \( \measuredangle AON \) este de \( 60^\circ \).
