Cele mai importante aspecte ale lecției
Triunghiul isoscel: Are două laturi și două unghiuri congruente. Liniile importante din vârful comun coincid și formează axa de simetrie.
Triunghiul echilateral: Toate laturile sunt congruente, iar unghiurile sunt de \( 60^\circ \). Un triunghi isoscel cu un unghi de \( 60^\circ \) este echilateral. Toate liniile sale importante coincid.
Teorema medianei (în \(\triangle\) dreptunghic): Mediana dusă pe ipotenuză este jumătate din aceasta.
Teorema 30°-60°-90°: Cateta opusă unghiului de \( 30^\circ \) este jumătate din ipotenuză.
Teorema lui Pitagora: Suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (\( c^2 = a^2 + b^2 \)).
Triunghiul echilateral: Toate laturile sunt congruente, iar unghiurile sunt de \( 60^\circ \). Un triunghi isoscel cu un unghi de \( 60^\circ \) este echilateral. Toate liniile sale importante coincid.
Teorema medianei (în \(\triangle\) dreptunghic): Mediana dusă pe ipotenuză este jumătate din aceasta.
Teorema 30°-60°-90°: Cateta opusă unghiului de \( 30^\circ \) este jumătate din ipotenuză.
Teorema lui Pitagora: Suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (\( c^2 = a^2 + b^2 \)).
Dacă un triunghi este isoscel (are două laturi congruente), atunci unghiurile alăturate bazei sunt congruente.
Reciproc: Dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci triunghiul este isoscel.
Reciproc: Dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci triunghiul este isoscel.
Într-un triunghi isoscel, liniile importante corespunzătoare bazei (bisectoarea unghiului opus bazei, mediatoarea bazei, înălțimea și mediana corespunzătoare bazei) coincid. Această dreaptă comună este și axă de simetrie a triunghiului.
Dacă două dintre liniile importante ale unui triunghi coincid (de exemplu, o mediană este și înălțime), atunci triunghiul este isoscel. De asemenea, dacă mediatoarea unei laturi trece printr-un vârf, triunghiul este isoscel.
Într-un triunghi isoscel, medianele, bisectoarele și înălțimile corespunzătoare laturilor congruente sunt congruente.
Într-un triunghi \( ABC \), înălțimea dusă din vârful \( A \) este și bisectoare. Dacă unghiul \( \measuredangle B = 55^\circ \), determinați măsurile celorlalte două unghiuri ale triunghiului.
Deoarece înălțimea este și bisectoare, triunghiul \( ABC \) este isoscel cu baza \( BC \).
Astfel, unghiurile de la bază sunt congruente: \( \measuredangle C = \measuredangle B = 55^\circ \).
Suma unghiurilor unui triunghi este \( 180^\circ \), așadar \( \measuredangle A = 180^\circ - (55^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
Astfel, unghiurile de la bază sunt congruente: \( \measuredangle C = \measuredangle B = 55^\circ \).
Suma unghiurilor unui triunghi este \( 180^\circ \), așadar \( \measuredangle A = 180^\circ - (55^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
Dacă un triunghi are toate unghiurile congruente, atunci el este echilateral (fiecare unghi are măsura de \( 60^\circ \)).
Regulă importantă: Dacă un triunghi isoscel are un unghi cu măsura de \( 60^\circ \) (indiferent care este acesta), atunci triunghiul este echilateral.
Regulă importantă: Dacă un triunghi isoscel are un unghi cu măsura de \( 60^\circ \) (indiferent care este acesta), atunci triunghiul este echilateral.
Dacă un triunghi este echilateral, atunci bisectoarea oricărui unghi, înălțimea, mediatoarea și mediana corespunzătoare laturii opuse coincid.
Datorită faptului că toate liniile importante coincid, într-un triunghi echilateral centrul cercului înscris, ortocentrul, centrul cercului circumscris și centrul de greutate coincid.
Triunghiul \( ABC \) este isoscel având baza \( BC \). Dacă unghiul exterior cu vârful în \( A \) are măsura de \( 120^\circ \), ce fel de triunghi este \( ABC \)?
Unghiul interior \( A \) este suplementul unghiului exterior: \( \measuredangle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Un triunghi isoscel care are un unghi de \( 60^\circ \) este triunghi echilateral.
Un triunghi isoscel care are un unghi de \( 60^\circ \) este triunghi echilateral.
Teorema medianei: Dacă un triunghi este dreptunghic, atunci lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
Fie \( \triangle ABC \) dreptunghic în \( A \) și \( M \) mijlocul ipotenuzei \( BC \):
\[ AM = \frac{BC}{2} \]
Reciproca teoremei medianei: Dacă într-un triunghi lungimea medianei este jumătate din lungimea laturii pe care cade, atunci triunghiul este dreptunghic.
Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic coincide cu mijlocul ipotenuzei.
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are lungimea de \( 18 \) cm. Aflați lungimea segmentului determinat de vârful unghiului drept și mijlocul ipotenuzei.
Segmentul descris este mediana corespunzătoare ipotenuzei. Conform teoremei medianei, lungimea ei este jumătate din ipotenuză: \( 18 : 2 = 9 \) cm.
Teorema unghiului de 30°: Într-un triunghi dreptunghic, dacă măsura unui unghi ascuțit este de \( 30^\circ \), atunci lungimea catetei care se opune acestui unghi este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
Reciproca: Dacă într-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete reprezintă jumătate din lungimea ipotenuzei, atunci măsura unghiului opus acelei catete este obligatoriu de \( 30^\circ \).
În triunghiul dreptunghic \( ABC \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \)), \( \measuredangle B = 60^\circ \) și ipotenuza \( BC = 24 \) cm. Calculați lungimea catetei \( AC \) și a catetei \( AB \).
Suma unghiurilor ascuțite este \( 90^\circ \), deci \( \measuredangle C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
Cateta care se opune unghiului de \( 30^\circ \) este \( AB \).
Aplicând teorema, \( AB = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) cm.
(Cateta AC se poate afla cu Teorema lui Pitagora).
Cateta care se opune unghiului de \( 30^\circ \) este \( AB \).
Aplicând teorema, \( AB = \frac{BC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) cm.
(Cateta AC se poate afla cu Teorema lui Pitagora).
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
Dacă \( \triangle ABC \) este dreptunghic cu \( \measuredangle A = 90^\circ \), atunci:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \quad \text{sau} \quad a^2 = b^2 + c^2 \]
Numere pitagoreice: Tripletele de numere naturale \( (a, b, c) \) care satisfac relația \( a^2 + b^2 = c^2 \) (ex: \( (3, 4, 5); (5, 12, 13); (8, 15, 17) \)). Multiplii numerelor pitagoreice sunt de asemenea numere pitagoreice.
Într-un triunghi dreptunghic, catetele au lungimile de \( 6 \) cm și \( 8 \) cm. Aflați lungimea ipotenuzei.
Fie \( x \) lungimea ipotenuzei. Conform Teoremei lui Pitagora:
\( x^2 = 6^2 + 8^2 \)
\( x^2 = 36 + 64 = 100 \implies x = \sqrt{100} = 10 \) cm.
\( x^2 = 6^2 + 8^2 \)
\( x^2 = 36 + 64 = 100 \implies x = \sqrt{100} = 10 \) cm.
Probleme practice
Ușoară: Un triunghi are laturile de \( 15 \) cm, \( 15 \) cm și \( 20 \) cm. Cum se numește acest triunghi în funcție de lungimea laturilor și ce proprietate au unghiurile de la baza sa?
Deoarece are două laturi congruente (\( 15 \) cm = \( 15 \) cm), triunghiul este isoscel. Principala sa proprietate legată de unghiuri este că unghiurile alăturate bazei (latura de \( 20 \) cm) sunt congruente.
Medie: Fie triunghiul dreptunghic \( ABC \) cu ipotenuza \( BC = 20 \) cm și măsura unghiului \( \measuredangle C = 30^\circ \). Aflați lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei și lungimea catetei \( AB \).
- Conform teoremei medianei, mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu jumătate din ipotenuză: \( AM = \frac{BC}{2} = 10 \) cm.
- Conform teoremei unghiului de 30°, cateta opusă acestui unghi (\( AB \)) este jumătate din ipotenuză: \( AB = \frac{20}{2} = 10 \) cm.
- Conform teoremei unghiului de 30°, cateta opusă acestui unghi (\( AB \)) este jumătate din ipotenuză: \( AB = \frac{20}{2} = 10 \) cm.
Dificilă: Într-un triunghi isoscel \( ABC \) cu baza \( BC \), se știe că perimetrul este \( 36 \) cm, iar laturile congruente sunt \( AB = AC = 13 \) cm. Înălțimea \( AD \) (cu \( D \in BC \)) împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghice. Folosind teorema lui Pitagora, calculați lungimea înălțimii \( AD \).
Aflăm lungimea bazei: \( BC = \text{Perimetru} - AB - AC = 36 - 13 - 13 = 10 \) cm.
Deoarece \( \triangle ABC \) este isoscel, înălțimea \( AD \) este și mediană. Prin urmare, punctul \( D \) este mijlocul bazei \( BC \), așadar \( BD = BC : 2 = 5 \) cm.
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \( ABD \) (\( \measuredangle D = 90^\circ \)):
\( AB^2 = AD^2 + BD^2 \)
\( 13^2 = AD^2 + 5^2 \implies 169 = AD^2 + 25 \implies AD^2 = 144 \implies AD = 12 \) cm.
Deoarece \( \triangle ABC \) este isoscel, înălțimea \( AD \) este și mediană. Prin urmare, punctul \( D \) este mijlocul bazei \( BC \), așadar \( BD = BC : 2 = 5 \) cm.
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \( ABD \) (\( \measuredangle D = 90^\circ \)):
\( AB^2 = AD^2 + BD^2 \)
\( 13^2 = AD^2 + 5^2 \implies 169 = AD^2 + 25 \implies AD^2 = 144 \implies AD = 12 \) cm.
