VI.2.3.2. Subiectul V

Analiza unghiurilor formate de bisectoare

Din ipoteză știm că \( \measuredangle BDA \equiv \measuredangle CDA \). De asemenea, semidreptele \( DE \) și \( DF \) sunt bisectoarele acestor unghiuri. Prin definiția bisectoarei, avem: \[ \measuredangle ADE = \frac{\measuredangle BDA}{2} \] \[ \measuredangle ADF = \frac{\measuredangle CDA}{2} \] Deoarece unghiurile inițiale sunt congruente, jumătățile lor sunt de asemenea congruente: \[ \measuredangle ADE \equiv \measuredangle ADF \]

a) \(\measuredangle EAD \equiv \measuredangle FAD\)

Demonstrarea congruenței triunghiurilor \( \triangle ADE \) și \( \triangle ADF \)

Vom compara triunghiurile \( \triangle ADE \) și \( \triangle ADF \) folosind datele din ipoteză:

• \( DE \equiv DF \) (din ipoteză)
• \( \measuredangle ADE \equiv \measuredangle ADF \) (demonstrat anterior)
• \( AD \equiv AD \) (latură comună)

Conform cazului de congruență Latură-Unghi-Latură (LUL), rezultă că: \[ \triangle ADE \equiv \triangle ADF \] Din această congruență, toate elementele omoloage sunt congruente, deci: \[ \measuredangle EAD \equiv \measuredangle FAD \]

b) \(\measuredangle BED \equiv \measuredangle CFD\)

Utilizarea congruenței triunghiurilor demonstrate anterior

Deoarece am demonstrat la punctul anterior că \( \triangle ADE \equiv \triangle ADF \), rezultă direct din omologia elementelor că unghiurile corespondente de la vârfurile \( E \), respectiv \( F \), sunt congruente: \[ \measuredangle AED \equiv \measuredangle AFD \] În triunghiul \( \triangle ADE \), unghiul \( \measuredangle BED \) este adiacent și suplementar cu \( \measuredangle AED \) (formând o linie dreaptă dacă punctele sunt coliniare, sau fiind parte a construcției). Totuși, conform figurii, unghiurile \( \measuredangle BED \) și \( \measuredangle CFD \) sunt unghiurile formate de prelungirile laturilor. Din \( \triangle ADE \equiv \triangle ADF \) rezultă și \( AE \equiv AF \). Observăm triunghiurile \( \triangle BDE \) și \( \triangle CDF \). Din ipoteză \( \measuredangle EDB = \frac{1}{2} \measuredangle BDA \) și \( \measuredangle FDC = \frac{1}{2} \measuredangle CDA \), deci \( \measuredangle EDB \equiv \measuredangle FDC \). Dacă considerăm triunghiurile \( \triangle BDE \) și \( \measuredangle CDF \), nu avem destule date pentru \( BE \) direct. Revenim la \( \triangle ADE \equiv \triangle ADF \), de unde rezultă \( \measuredangle AED \equiv \measuredangle AFD \). Unghiurile cerute \( \measuredangle BED \) și \( \measuredangle CFD \) sunt suplementele unghiurilor interioare dacă punctele \( B, E, A \) și \( C, F, A \) sunt coliniare. Din congruența triunghiurilor mari (vezi punctul c), rezultă egalitatea.

c) \(BE \equiv CF\)

Demonstrarea congruenței triunghiurilor \( \triangle ABD \) și \( \triangle ACD \)

Vom compara triunghiurile \( \triangle ABD \) și \( \triangle ACD \):

• \( AD \equiv AD \) (latură comună)
• \( \measuredangle BDA \equiv \measuredangle CDA \) (din ipoteză)
• \( \measuredangle BAD \equiv \measuredangle CAD \) (demonstrat la punctul a, deoarece \( \measuredangle EAD = \measuredangle BAD \) și \( \measuredangle FAD = \measuredangle CAD \))

Conform cazului de congruență Unghi-Latură-Unghi (ULU), rezultă că: \[ \triangle ABD \equiv \triangle ACD \] Din această congruență rezultă că \( AB \equiv AC \). Din congruența \( \triangle ADE \equiv \triangle ADF \), am obținut \( AE \equiv AF \). Calculăm segmentele rămase: \[ BE = AB - AE \] \[ CF = AC - AF \] Deoarece \( AB = AC \) și \( AE = AF \), prin scădere obținem: \[ AB - AE = AC - AF \implies BE \equiv CF \] Aceasta finalizează demonstrația pentru toate punctele.

a) \( \triangle ADE, \triangle ADF \): \( DE=DF, \measuredangle ADE=\measuredangle ADF, AD=AD \xrightarrow{LUL} \triangle ADE \equiv \triangle ADF \Rightarrow \measuredangle EAD = \measuredangle FAD \). b) \( \triangle ADE \equiv \triangle ADF \Rightarrow \measuredangle AED = \measuredangle AFD \). \( \measuredangle BED = 180^\circ - \measuredangle AED \), \( \measuredangle CFD = 180^\circ - \measuredangle AFD \Rightarrow \measuredangle BED = \measuredangle CFD \). c) \( \triangle ABD, \triangle ACD \): \( AD=AD, \measuredangle BDA=\measuredangle CDA, \measuredangle BAD=\measuredangle CAD \xrightarrow{ULU} \triangle ABD \equiv \triangle ACD \Rightarrow AB=AC \). \( AE=AF \) (din a). \( BE = AB - AE = AC - AF = CF \).