Cele mai importante aspecte ale lecției
- Definiție: Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei coborâte din acel punct pe dreaptă (\( \text{d}(A, d) \)).
- Proprietate: Distanța (perpendiculara) reprezintă cel mai scurt drum; ea este întotdeauna mai mică decât lungimea oricărei oblice.
- Caz particular: Dacă un punct se află chiar pe dreaptă, distanța de la el la dreaptă este \( 0 \).
Distanța de la un punct exterior unei drepte la acea dreaptă este lungimea segmentului determinat de acel punct și de piciorul perpendicularei construite din punct pe dreaptă.
În geometrie, distanțele reprezintă întotdeauna „drumul cel mai scurt”. Astfel, distanța de la un punct la o dreaptă este întotdeauna mai mică decât lungimea oricărei oblice construite din acel punct pe dreaptă (în desen, \( AO < AB \)).
Distanța de la un punct \( A \) la o dreaptă \( d \) se notează matematic astfel: \( \text{d}(A, d) \).
Distanța de la un punct situat pe o dreaptă la acea dreaptă este egală cu 0 (zero). Dacă \( A \in d \), atunci \( \text{d}(A, d) = 0 \).
Fie un triunghi \( OMN \). Este corect să afirmăm că distanța de la punctul \( M \) la dreapta \( ON \) este întotdeauna lungimea segmentului \( MN \)?
Nu. Distanța de la punctul \( M \) la dreapta \( ON \) este \( MN \) numai dacă segmentul \( MN \) este perpendicular pe dreapta \( ON \) (\( MN \perp ON \)). Altfel, \( MN \) este doar o oblică, nu distanța.
Probleme practice
Ușoară: Se consideră o dreaptă \( a \) și un punct \( P \) care aparține acestei drepte (\( P \in a \)). Care este distanța de la punctul \( P \) la dreapta \( a \)?
Conform regulii învățate, distanța de la un punct la o dreaptă pe care se află este 0.
Răspuns: \( \text{d}(P, a) = 0 \).
Răspuns: \( \text{d}(P, a) = 0 \).
Medie: Se consideră punctele coliniare \( B, C, D, E \) în această ordine. Se știe că se construiește un segment \( AD \) astfel încât \( AD \perp CE \). Care segment reprezintă distanța de la punctul \( A \) la dreapta \( BC \)?
Deoarece punctele \( B, C, D, E \) sunt coliniare, ele determină o unică dreaptă (dreapta \( BC \) este aceeași cu dreapta \( CE \)). Distanța de la punctul exterior \( A \) la această dreaptă este dată de lungimea perpendicularei din \( A \) pe dreaptă. Cum ni se spune că \( AD \perp CE \), punctul \( D \) este piciorul perpendicularei.
Răspuns: Distanța de la \( A \) la dreapta \( BC \) este reprezentată de segmentul \( AD \).
Răspuns: Distanța de la \( A \) la dreapta \( BC \) este reprezentată de segmentul \( AD \).
Dificilă: Se consideră un pătrat \( MNPQ \), cu lungimea laturii de \( 2,5 \text{ cm} \). Determinați distanța de la punctul \( P \) la dreapta \( MQ \).
Într-un pătrat, laturile alăturate sunt perpendiculare. Dreapta suport a laturii \( PQ \) conține punctul \( P \) și este perpendiculară pe latura \( MQ \) (adică pe dreapta \( MQ \)) în punctul \( Q \).
Astfel, piciorul perpendicularei din punctul \( P \) pe dreapta \( MQ \) este chiar vârful \( Q \).
Distanța cerută este lungimea segmentului \( PQ \), care este o latură a pătratului.
Răspuns: \( \text{d}(P, MQ) = PQ = 2,5 \text{ cm} \).
Astfel, piciorul perpendicularei din punctul \( P \) pe dreapta \( MQ \) este chiar vârful \( Q \).
Distanța cerută este lungimea segmentului \( PQ \), care este o latură a pătratului.
Răspuns: \( \text{d}(P, MQ) = PQ = 2,5 \text{ cm} \).
