Cele mai importante aspecte ale lecției
- Mărimile direct proporționale cresc sau descresc de același număr de ori. Două valori, \(a\) și \(b\), sunt direct proporționale dacă raportul lor este constant: \( \frac{a}{b} = k \).
- Numărul \(k\) se numește coeficient de proporționalitate. Exprimarea mărimii necunoscute se face prin formula \( a = k \cdot b \).
- Dacă avem un șir de rapoarte egale, valoarea acestora nu se schimbă dacă adunăm toți numărătorii între ei și îi împărțim la suma tuturor numitorilor: \( \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_1 + a_2}{b_1 + b_2} = k \). Această regulă este esențială atunci când cunoaștem suma totală a mărimilor necunoscute.
Două mărimi se numesc direct proporționale dacă depind una de alta astfel încât, atunci când măsura uneia se mărește (sau se micșorează) de un număr de ori, măsura celeilalte se mărește (sau se micșorează) de același număr de ori.
Două sau mai multe numere \( a_1, a_2, \dots, a_n \) sunt direct proporționale cu numerele \( b_1, b_2, \dots, b_n \) dacă formează un șir de rapoarte egale:
\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} = k \]
Numărul \( k \neq 0 \) se numește coeficient de proporționalitate. Din relația \( \frac{a}{b} = k \), rezultă că \( a = k \cdot b \).
Dacă un buchet de 3 trandafiri costă 22,50 lei, prețul unui singur trandafir (coeficientul \( k \)) este \( 22,50 : 3 = 7,50 \) lei.
Tabelul de mai jos ilustrează proporționalitatea directă (prețul total se obține înmulțind numărul de trandafiri cu \( 7,50 \)):
Tabelul de mai jos ilustrează proporționalitatea directă (prețul total se obține înmulțind numărul de trandafiri cu \( 7,50 \)):
| Numărul de trandafiri (\( n \)) | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| Prețul în lei (\( p \)) | 7,50 | 22,50 | 37,50 | 52,50 |
Oricare ar fi un șir de rapoarte egale, fiecare raport este egal cu raportul dintre suma numărătorilor și suma numitorilor.
\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{b_1 + b_2 + \dots + b_n} = k \]
Știind că numerele \( a, b \) și \( c \) sunt direct proporționale cu 2, 3 și 5, iar suma lor este 30, aflați cele trei numere.
Scriem șirul de rapoarte egale și aplicăm proprietatea sumei:
\[ \frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} = \frac{a + b + c}{2 + 3 + 5} = \frac{30}{10} = 3 \]
Coeficientul de proporționalitate este \( k = 3 \). Prin urmare:
\( a = 2 \cdot 3 = 6 \)
\( b = 3 \cdot 3 = 9 \)
\( c = 5 \cdot 3 = 15 \)
\( a = 2 \cdot 3 = 6 \)
\( b = 3 \cdot 3 = 9 \)
\( c = 5 \cdot 3 = 15 \)
Greutatea unui corp, notată cu \( G \), este o mărime fizică direct proporțională cu masa corpului, notată cu \( m \).
\[ G = m \cdot g \]
Unde \( g \) este accelerația gravitațională a Pământului (\( g \approx 9,8 \text{ m/s}^2 \)) și reprezintă coeficientul de proporționalitate.
Deși în limbajul curent se face des confuzie între masă și greutate, ele sunt mărimi distincte (masa se măsoară în kilograme, iar greutatea în newtoni, obținându-se prin înmulțirea masei cu \( g \)).
Probleme de exersare
Ușoară: Verificați dacă numerele 15 și 35 sunt direct proporționale cu numerele 3 și 7. Care este coeficientul de proporționalitate?
Calculăm valoarea fiecărui raport:
\( \frac{15}{3} = 5 \)
\( \frac{35}{7} = 5 \)
Deoarece ambele rapoarte sunt egale cu 5, numerele sunt direct proporționale, iar coeficientul de proporționalitate este \( k = 5 \).
\( \frac{15}{3} = 5 \)
\( \frac{35}{7} = 5 \)
Deoarece ambele rapoarte sunt egale cu 5, numerele sunt direct proporționale, iar coeficientul de proporționalitate este \( k = 5 \).
Medie: Media aritmetică a trei numere este egală cu 16. Calculați cele trei numere, știind că sunt direct proporționale cu numerele 4, 5 și 7.
Notăm cele trei numere cu \( a, b, c \).
Media aritmetică este 16: \( \frac{a + b + c}{3} = 16 \implies a + b + c = 16 \cdot 3 = 48 \).
Scriem proporționalitatea: \( \frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7} = k \).
Aplicăm proprietatea șirului de rapoarte egale: \[ k = \frac{a + b + c}{4 + 5 + 7} = \frac{48}{16} = 3 \] Aflăm numerele:
\( a = 4 \cdot 3 = 12 \)
\( b = 5 \cdot 3 = 15 \)
\( c = 7 \cdot 3 = 21 \)
Media aritmetică este 16: \( \frac{a + b + c}{3} = 16 \implies a + b + c = 16 \cdot 3 = 48 \).
Scriem proporționalitatea: \( \frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7} = k \).
Aplicăm proprietatea șirului de rapoarte egale: \[ k = \frac{a + b + c}{4 + 5 + 7} = \frac{48}{16} = 3 \] Aflăm numerele:
\( a = 4 \cdot 3 = 12 \)
\( b = 5 \cdot 3 = 15 \)
\( c = 7 \cdot 3 = 21 \)
Dificilă: Determinați numerele \( x, y \) și \( z \), știind că sunt direct proporționale cu numerele 2, 5, respectiv 7, iar produsul lor este 560.
Din proporționalitatea numerelor, scriem șirul de rapoarte:
\[ \frac{x}{2} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7} = k \]
Exprimăm fiecare număr în funcție de coeficientul \( k \):
\( x = 2k \)
\( y = 5k \)
\( z = 7k \)
Înlocuim în relația produsului:
\( x \cdot y \cdot z = 560 \)
\( (2k) \cdot (5k) \cdot (7k) = 560 \)
\( 70 \cdot k^3 = 560 \)
\( k^3 = 560 : 70 \)
\( k^3 = 8 \)
Deoarece \( 2^3 = 8 \), rezultă că \( k = 2 \).
Calculăm numerele:
\( x = 2 \cdot 2 = 4 \)
\( y = 5 \cdot 2 = 10 \)
\( z = 7 \cdot 2 = 14 \)
\( x = 2k \)
\( y = 5k \)
\( z = 7k \)
Înlocuim în relația produsului:
\( x \cdot y \cdot z = 560 \)
\( (2k) \cdot (5k) \cdot (7k) = 560 \)
\( 70 \cdot k^3 = 560 \)
\( k^3 = 560 : 70 \)
\( k^3 = 8 \)
Deoarece \( 2^3 = 8 \), rezultă că \( k = 2 \).
Calculăm numerele:
\( x = 2 \cdot 2 = 4 \)
\( y = 5 \cdot 2 = 10 \)
\( z = 7 \cdot 2 = 14 \)
