Cele mai importante aspecte ale lecției
Paralelogramul: Este figura cu laturile opuse paralele. Consecințe: unghiurile opuse sunt egale (\( \sphericalangle A = \sphericalangle C \)), iar cele alăturate adunate dau \( 180^\circ \) (\( \sphericalangle A + \sphericalangle B = 180^\circ \)).
Corpuri geometrice: Regulile de paralelism din plan (ex. suma unghiurilor interne de aceeași parte a secantei este \( 180^\circ \)) se folosesc pentru a demonstra paralelismul muchiilor / dreptelor din spațiu.
Unghiuri cu laturile paralele: Dacă două unghiuri au laturile paralele, ele fie sunt congruente (amândouă ascuțite sau amândouă obtuze), fie sunt suplementare (unul ascuțit și unul obtuz).
Corpuri geometrice: Regulile de paralelism din plan (ex. suma unghiurilor interne de aceeași parte a secantei este \( 180^\circ \)) se folosesc pentru a demonstra paralelismul muchiilor / dreptelor din spațiu.
Unghiuri cu laturile paralele: Dacă două unghiuri au laturile paralele, ele fie sunt congruente (amândouă ascuțite sau amândouă obtuze), fie sunt suplementare (unul ascuțit și unul obtuz).
Plecând de la puncte necoliniare, se pot construi drepte paralele folosind teorema unghiurilor alterne interne: dacă două drepte formează cu o secantă o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Paralelogramul este figura geometrică obținută prin intersecția a două perechi de drepte paralele. În paralelogram, laturile opuse sunt paralele două câte două.
Din proprietățile dreptelor paralele tăiate de o secantă, într-un paralelogram deducem că:
- Unghiurile opuse sunt congruente. (ex: \( \sphericalangle A \equiv \sphericalangle C \) și \( \sphericalangle B \equiv \sphericalangle D \))
- Unghiurile alăturate (consecutive) sunt suplementare, având suma de \( 180^\circ \). (ex: \( \sphericalangle A + \sphericalangle B = 180^\circ \))
Într-un paralelogram \( ABCD \), măsura unghiului \( A \) este de \( 70^\circ \). Calculați măsurile unghiurilor \( B \) și \( C \).
Unghiurile \( A \) și \( B \) sunt interne de aceeași parte a secantei \( AB \) pentru paralelele \( AD \) și \( BC \), deci sunt suplementare: \( \sphericalangle B = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).
Unghiurile \( A \) și \( C \) sunt unghiuri opuse în paralelogram, deci sunt congruente: \( \sphericalangle C = 70^\circ \).
Unghiurile \( A \) și \( C \) sunt unghiuri opuse în paralelogram, deci sunt congruente: \( \sphericalangle C = 70^\circ \).
Criteriile de paralelism învățate în plan (unghiuri alterne interne, alterne externe, corespondente congruente sau interne/externe de aceeași parte a secantei suplementare) se aplică la fel de bine și pentru fețele sau secțiunile corpurilor geometrice (cum ar fi paralelipipedul dreptunghic, cubul etc.).
Dacă într-o secțiune a unui paralelipiped identificăm două drepte tăiate de o secantă, iar unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt ambele drepte (deci măsoară \( 90^\circ \)), suma lor este \( 180^\circ \). Conform criteriului de paralelism, cele două drepte sunt paralele.
Două unghiuri se numesc unghiuri cu laturile paralele dacă laturile unuia sunt paralele cu laturile celuilalt, luând fiecare pereche în parte.
Dacă două unghiuri au laturile paralele, atunci există trei situații posibile:
- Teorema 1: Dacă ambele unghiuri sunt ascuțite, atunci ele sunt congruente.
- Teorema 2: Dacă ambele unghiuri sunt obtuze, atunci ele sunt congruente.
- Teorema 3: Dacă un unghi este ascuțit și celălalt este obtuz, atunci ele sunt suplementare (suma lor este \( 180^\circ \)).
Două unghiuri, \( \sphericalangle ABC \) și \( \sphericalangle DEF \), au laturile paralele (\( AB \parallel DE \) și \( BC \parallel EF \)). Știind că \( \sphericalangle ABC = 50^\circ \), ce măsură poate avea \( \sphericalangle DEF \)?
Deoarece unghiurile au laturile paralele, ele pot fi congruente sau suplementare.
Cazul 1: Dacă \( \sphericalangle DEF \) este ascuțit, va fi congruent cu \( \sphericalangle ABC \), deci \( \sphericalangle DEF = 50^\circ \).
Cazul 2: Dacă \( \sphericalangle DEF \) este obtuz, va fi suplementar cu \( \sphericalangle ABC \), deci \( \sphericalangle DEF = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).
Cazul 1: Dacă \( \sphericalangle DEF \) este ascuțit, va fi congruent cu \( \sphericalangle ABC \), deci \( \sphericalangle DEF = 50^\circ \).
Cazul 2: Dacă \( \sphericalangle DEF \) este obtuz, va fi suplementar cu \( \sphericalangle ABC \), deci \( \sphericalangle DEF = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).
Probleme practice
Ușoară: Se dau două unghiuri obtuze care au laturile paralele. Dacă măsura primului unghi este de \( 125^\circ \), care este măsura celui de-al doilea unghi?
Conform teoremei, două unghiuri obtuze cu laturile paralele sunt congruente.
Răspuns: Măsura celui de-al doilea unghi este tot \( 125^\circ \).
Răspuns: Măsura celui de-al doilea unghi este tot \( 125^\circ \).
Medie: Într-un paralelogram \( MNPQ \), unghiul \( M \) are măsura de \( 3x + 10^\circ \), iar unghiul alăturat \( N \) are măsura de \( 2x + 20^\circ \). Determinați valoarea lui \( x \) și măsurile unghiurilor paralelogramului.
Într-un paralelogram, unghiurile consecutive (alăturate) sunt suplementare, așadar suma lor este \( 180^\circ \).
Ecuația: \( (3x + 10^\circ) + (2x + 20^\circ) = 180^\circ \)
\( 5x + 30^\circ = 180^\circ \implies 5x = 150^\circ \implies x = 30^\circ \)
Calculăm unghiurile:
\( \sphericalangle M = 3 \cdot 30^\circ + 10^\circ = 100^\circ \)
\( \sphericalangle N = 2 \cdot 30^\circ + 20^\circ = 80^\circ \)
Răspuns: \( x = 30^\circ \). Unghiurile opuse sunt congruente, deci \( \sphericalangle P = 100^\circ \) și \( \sphericalangle Q = 80^\circ \).
Ecuația: \( (3x + 10^\circ) + (2x + 20^\circ) = 180^\circ \)
\( 5x + 30^\circ = 180^\circ \implies 5x = 150^\circ \implies x = 30^\circ \)
Calculăm unghiurile:
\( \sphericalangle M = 3 \cdot 30^\circ + 10^\circ = 100^\circ \)
\( \sphericalangle N = 2 \cdot 30^\circ + 20^\circ = 80^\circ \)
Răspuns: \( x = 30^\circ \). Unghiurile opuse sunt congruente, deci \( \sphericalangle P = 100^\circ \) și \( \sphericalangle Q = 80^\circ \).
Dificilă: O secțiune într-un corp geometric formează un patrulater. Două drepte care conțin laturi opuse ale acestui patrulater sunt intersectate de o secantă (a treia latură). Știind că unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt direct proporționale cu numerele \( 4 \) și \( 5 \), aflați măsurile lor, astfel încât laturile patrulaterului să fie paralele.
Pentru ca dreptele să fie paralele, unghiurile interne de aceeași parte a secantei trebuie să fie suplementare (suma lor să fie \( 180^\circ \)).
Fie unghiurile \( u \) și \( v \). Avem sistemul:
\( \frac{u}{4} = \frac{v}{5} = k \)
\( u + v = 180^\circ \)
Înlocuim: \( 4k + 5k = 180^\circ \implies 9k = 180^\circ \implies k = 20^\circ \)
Determinăm unghiurile: \( u = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ \) și \( v = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ \).
Răspuns: Măsurile unghiurilor sunt \( 80^\circ \) și \( 100^\circ \).
Fie unghiurile \( u \) și \( v \). Avem sistemul:
\( \frac{u}{4} = \frac{v}{5} = k \)
\( u + v = 180^\circ \)
Înlocuim: \( 4k + 5k = 180^\circ \implies 9k = 180^\circ \implies k = 20^\circ \)
Determinăm unghiurile: \( u = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ \) și \( v = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ \).
Răspuns: Măsurile unghiurilor sunt \( 80^\circ \) și \( 100^\circ \).
