Lecția IV.1.5 conține următoarele grupuri de exerciții:
IV.1.5. Puterea Cu Exponent Număr Întreg A Unui Număr Rațional Nenul. Reguli De Calcul Cu Puteri. Ordinea Efectuării Operațiilor Și Folosirea Parantezelor
IV.1.5. Autoevaluare
Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
a)
\( \left(3 + \frac{1}{2}\right)^2 = 3^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
\[ \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{49}{4} = 12,25 \]\[ 3^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 9 + \frac{1}{4} = 9,25 \]\[ 12,25 \neq 9,25 \implies F \]b)
\( \left(3 \cdot \frac{1}{2}\right)^2 = 3^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]\[ \left(3 \cdot \frac{1}{2}\right)^2 = 3^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \implies A \]c)
\( (2 : 3)^2 = \frac{2^2}{3^2} \)
\[ (a : b)^n = \frac{a^n}{b^n} \]\[ (2 : 3)^2 = \frac{2^2}{3^2} \implies A \]d)
\( 2^3 + 2^4 = 2^7 \)
\[ 2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24 \]\[ 2^7 = 128 \]\[ 24 \neq 128 \implies F \]Rezolvare detaliată
Pentru a stabili valoarea de adevăr a fiecărei afirmații, vom analiza proprietățile puterilor numerelor raționale și vom efectua calculele necesare.
a) \( \left(3 + \frac{1}{2}\right)^2 = 3^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
Pasul 1: Calcularea membrului stâng
Mai întâi, efectuăm adunarea din paranteză prin aducerea la același numitor: \[ 3 + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \] Apoi, ridicăm rezultatul la puterea a doua: \[ \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{7^2}{2^2} = \frac{49}{4} = 12,25 \]Pasul 2: Calcularea membrului drept
Calculăm separat fiecare putere și apoi efectuăm adunarea: \[ 3^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 9 + \frac{1}{4} = 9 + 0,25 = 9,25 \] Deoarece \( 12,25 \neq 9,25 \), afirmația este Falsă. Reținem că ridicarea la putere nu este distributivă față de adunare.b) \( \left(3 \cdot \frac{1}{2}\right)^2 = 3^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
Pasul 1: Aplicarea regulii de calcul
Conform regulii de calcul pentru puterea unui produs, \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \). În cazul nostru, avem \( a = 3 \), \( b = \frac{1}{2} \) și \( n = 2 \). Aplicând formula: \[ \left(3 \cdot \frac{1}{2}\right)^2 = 3^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \] Egalitatea este respectată direct de proprietatea puterilor, deci afirmația este Adevărată.c) \( (2 : 3)^2 = \frac{2^2}{3^2} \)
Pasul 1: Aplicarea regulii pentru puterea unui cât
Regula de calcul pentru puterea unui cât (sau a unei fracții) este \( (a : b)^n = a^n : b^n \), ceea ce se mai scrie sub formă de fracție ca \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \). Avem \( (2 : 3)^2 = 2^2 : 3^2 = \frac{2^2}{3^2} \). Prin urmare, afirmația este Adevărată.d) \( 2^3 + 2^4 = 2^7 \)
Pasul 1: Calcularea valorilor numerice
Calculăm fiecare membru al egalității: Membru stâng: \( 2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24 \). Membru drept: \( 2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128 \). Deoarece \( 24 \neq 128 \), afirmația este Falsă. Eroarea comună este adunarea exponenților la adunarea bazelor, regulă care se aplică doar la înmulțire: \( 2^3 \cdot 2^4 = 2^7 \).Rezolvare scurtă:
a) \( (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4} = 12,25 \); \( 9 + \frac{1}{4} = 9,25 \). F
b) \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \). A
c) \( (a : b)^n = a^n : b^n \). A
d) \( 8 + 16 = 24 \); \( 2^7 = 128 \). F
