Cele mai importante aspecte ale lecției
Proporții derivate cu aceiași termeni: Se obțin prin inversarea rapoartelor (\( \frac{b}{a}=\frac{d}{c} \)) sau schimbarea poziției extremilor (\( \frac{d}{b}=\frac{c}{a} \)) / mezilor (\( \frac{a}{c}=\frac{b}{d} \)).
Proporții derivate cu termeni schimbați: Se pot aduna sau scădea termenii între ei în cadrul aceluiași raport (ex: \( \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} \)) sau se pot egala cu suma/diferența dintre rapoarte (ex: \( \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d} \)).
Aflarea necunoscutelor (metoda lui k): Când cunoaștem o proporție și o sumă/diferență a termenilor, egalăm proporția cu \( k \), exprimăm termenii prin \( k \) și rezolvăm ecuația rezultată.
Proporții derivate cu termeni schimbați: Se pot aduna sau scădea termenii între ei în cadrul aceluiași raport (ex: \( \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} \)) sau se pot egala cu suma/diferența dintre rapoarte (ex: \( \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d} \)).
Aflarea necunoscutelor (metoda lui k): Când cunoaștem o proporție și o sumă/diferență a termenilor, egalăm proporția cu \( k \), exprimăm termenii prin \( k \) și rezolvăm ecuația rezultată.
Dintr-o proporție dată se pot obține alte proporții valabile care folosesc exact aceleași numere, modificând doar poziția lor.
Pornind de la o proporție \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), se pot obține proporții derivate cu aceiași termeni prin:
- Schimbarea extremilor între ei: \( \frac{d}{b} = \frac{c}{a} \)
- Schimbarea mezilor între ei: \( \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \)
- Inversarea rapoartelor: \( \frac{b}{a} = \frac{d}{c} \)
Din proporția \( \frac{2}{3} = \frac{6}{9} \) se obțin:
- schimbând extremii (2 cu 9): \( \frac{9}{3} = \frac{6}{2} \)
- schimbând mezii (3 cu 6): \( \frac{2}{6} = \frac{3}{9} \)
- inversând rapoartele: \( \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \)
Toate aceste proporții noi sunt corecte deoarece păstrează egalitatea produselor pe diagonală: \( a \cdot d = b \cdot c \).
Scrieți o proporție derivată din \( \frac{x}{5} = \frac{y}{7} \) astfel încât necunoscutele \( x \) și \( y \) să facă parte din același raport.
Pentru a aduce \( x \) și \( y \) în același raport, schimbăm mezii (5 și \( y \)) între ei.
Răspuns: \( \frac{x}{y} = \frac{5}{7} \).
Răspuns: \( \frac{x}{y} = \frac{5}{7} \).
Termenii unei proporții pot fi modificați adunând sau scăzând numitorii din numărători (sau invers), aplicând aceeași operație ambelor rapoarte.
Fie proporția \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \).
Modificarea numărătorilor:
Modificarea numărătorilor:
- Adunarea numitorilor la numărători: \[ \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} \]
- Scăderea numitorilor din numărători: \[ \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} \text{ (pentru } a > b, c > d\text{)} \]
- Adunarea numărătorilor la numitori: \[ \frac{a}{b+a} = \frac{c}{d+c} \]
- Scăderea numărătorilor din numitori: \[ \frac{a}{b-a} = \frac{c}{d-c} \text{ (pentru } b > a, d > c\text{)} \]
Din proporția \( \frac{2}{3} = \frac{6}{9} \):
- Adunând numitorii la numărători: \( \frac{2+3}{3} = \frac{6+9}{9} \Rightarrow \frac{5}{3} = \frac{15}{9} \)
- Adunând numărătorii la numitori: \( \frac{2}{3+2} = \frac{6}{9+6} \Rightarrow \frac{2}{5} = \frac{6}{15} \)
Știind că \( \frac{x}{y} = \frac{4}{9} \), calculați valoarea raportului \( \frac{x}{y-x} \).
Aplicăm regula scăderii numărătorilor din numitori pentru ambele rapoarte:
\( \frac{x}{y-x} = \frac{4}{9-4} \)
Răspuns: \( \frac{x}{y-x} = \frac{4}{5} \).
\( \frac{x}{y-x} = \frac{4}{9-4} \)
Răspuns: \( \frac{x}{y-x} = \frac{4}{5} \).
O proporție derivată se poate obține și prin operarea între cele două rapoarte ale proporției inițiale (adunarea sau scăderea lor).
Din proporția \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) se pot obține următoarele egalități:
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} \]
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a-c}{b-d} \]
Pentru \( \frac{2}{3} = \frac{6}{9} \), adunând numărătorii între ei și numitorii între ei obținem un raport egal cu cele inițiale:
\( \frac{2+6}{3+9} = \frac{8}{12} \). Observăm că \( \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \) și \( \frac{6}{9} = \frac{8}{12} \).
\( \frac{2+6}{3+9} = \frac{8}{12} \). Observăm că \( \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \) și \( \frac{6}{9} = \frac{8}{12} \).
Dacă \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{2}{5} \), calculați \( \frac{a+c}{b+d} \).
Conform regulii de adunare a numărătorilor și a numitorilor rapoartelor proporției date, noul raport este egal cu cele inițiale.
Răspuns: \( \frac{a+c}{b+d} = \frac{2}{5} \).
Răspuns: \( \frac{a+c}{b+d} = \frac{2}{5} \).
Se aduce proporția într-o formă în care necunoscutele sunt la numărători (dacă este necesar, schimbând mezii/extremii).
Se notează valoarea rapoartelor cu o constantă \( k \).
Se exprimă necunoscutele în funcție de \( k \) și se înlocuiesc în relația (suma/diferența) dată pentru a afla \( k \).
Aflarea numerelor \( x \) și \( y \) știind că \( \frac{x}{y} = \frac{11}{13} \) și \( x + y = 12 \):
1. Schimbăm mezii: \( \frac{x}{11} = \frac{y}{13} = k \).
2. Exprimăm necunoscutele: \( x = 11k \) și \( y = 13k \).
3. Înlocuim în sumă: \( 11k + 13k = 12 \Rightarrow 24k = 12 \Rightarrow k = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \).
4. Calculăm: \( x = 11 \cdot 0,5 = 5,5 \) și \( y = 13 \cdot 0,5 = 6,5 \).
1. Schimbăm mezii: \( \frac{x}{11} = \frac{y}{13} = k \).
2. Exprimăm necunoscutele: \( x = 11k \) și \( y = 13k \).
3. Înlocuim în sumă: \( 11k + 13k = 12 \Rightarrow 24k = 12 \Rightarrow k = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \).
4. Calculăm: \( x = 11 \cdot 0,5 = 5,5 \) și \( y = 13 \cdot 0,5 = 6,5 \).
Exerciții
Ușoară: Se dă proporția \( \frac{4}{8} = \frac{3}{6} \). Scrieți proporția derivată obținută prin inversarea rapoartelor.
Prin inversarea rapoartelor, numărătorii devin numitori și invers pentru ambele fracții.
Răspuns: \( \frac{8}{4} = \frac{6}{3} \).
Răspuns: \( \frac{8}{4} = \frac{6}{3} \).
Medie: Știind că \( \frac{a}{b} = \frac{3}{7} \), calculați valoarea raportului \( \frac{a+b}{b} \).
Folosim metoda proporțiilor derivate cu termeni schimbați (adunarea numitorului la numărător):
\( \frac{a+b}{b} = \frac{3+7}{7} \)
Răspuns: \( \frac{a+b}{b} = \frac{10}{7} \).
\( \frac{a+b}{b} = \frac{3+7}{7} \)
Răspuns: \( \frac{a+b}{b} = \frac{10}{7} \).
Dificilă: Dacă \( \frac{x}{3} = \frac{y}{16} \) și \( x + y = 38 \), determinați numerele \( x \) și \( y \).
Notăm rapoartele egale cu \( k \): \( \frac{x}{3} = \frac{y}{16} = k \).
Rezultă că \( x = 3k \) și \( y = 16k \).
Înlocuim în suma dată: \( 3k + 16k = 38 \Rightarrow 19k = 38 \Rightarrow k = 2 \).
Calculăm necunoscutele: \( x = 3 \cdot 2 = 6 \) și \( y = 16 \cdot 2 = 32 \).
Răspuns: \( x = 6 \), \( y = 32 \).
Rezultă că \( x = 3k \) și \( y = 16k \).
Înlocuim în suma dată: \( 3k + 16k = 38 \Rightarrow 19k = 38 \Rightarrow k = 2 \).
Calculăm necunoscutele: \( x = 3 \cdot 2 = 6 \) și \( y = 16 \cdot 2 = 32 \).
Răspuns: \( x = 6 \), \( y = 32 \).
