Cele mai importante aspecte ale lecției
Concepte fundamentale ale proporționalității:
- Proporția: \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c \) (Produsul extremilor = Produsul mezilor).
- Mărimi direct proporționale (d.p.): Câtul lor este constant (\( \frac{a}{b} = k \)). Dacă una crește, cealaltă crește proporțional. Relația se rezolvă prin înmulțire pe diagonală.
- Mărimi invers proporționale (i.p.): Produsul lor este constant (\( a \cdot b = k \)). Dacă una crește, cealaltă scade proporțional. Relația se rezolvă prin înmulțire pe orizontală.
- Șirul de rapoarte egale: Ne permite să adunăm numărătorii între ei și numitorii între ei fără a schimba valoarea raportului: \( \frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{a+b}{x+y} = k \).
Raportul a două mărimi fizice este raportul măsurilor acestor mărimi. Raportul numeric dintre un număr \( a \) și un număr \( b \) (\( b \neq 0 \)) se notează \( \frac{a}{b} \).
Valoarea raportului este rezultatul împărțirii \( a : b \).
Raportul de forma \( \frac{p}{100} \) se numește raport procentual și se notează \( p\% \).
Mărimi fizice definite prin rapoarte:
- Concentrația unei soluții: masa substanței dizolvate / masa soluției
- Scara unei hărți: distanța pe hartă / distanța reală (exprimate în aceeași unitate de măsură)
- Titlul unui aliaj: masa metalului prețios / masa aliajului
- Viteza (\( v \)): \( \frac{d}{t} \) (distanța pe timp)
- Densitatea (\( \rho \)): \( \frac{m}{V} \) (masa pe volum)
Dacă pe hartă distanța dintre două orașe este de \( 2 \text{ cm} \), iar în realitate este de \( 200 \text{ km} \) (\( 20000000 \text{ cm} \)), scara hărții este \( \frac{2}{20000000} = \frac{1}{10000000} \).
Proporția reprezintă egalitatea a două rapoarte care au aceeași valoare.
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \]
unde \( a, b, c, d \neq 0 \)
Termenii \( a \) și \( d \) se numesc extremi, iar \( b \) și \( c \) se numesc mezi.
Proprietatea fundamentală a proporției: Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c \]
Pentru a afla un termen necunoscut:
- \( \text{Un extrem} = \frac{\text{produsul mezilor}}{\text{celălalt extrem}} \)
- \( \text{Un mez} = \frac{\text{produsul extremilor}}{\text{celălalt mez}} \)
Aflați termenul necunoscut \( x \) din proporția \( \frac{x}{4} = \frac{15}{6} \).
Aplicăm proprietatea fundamentală: \( 6 \cdot x = 4 \cdot 15 \)
\( 6 \cdot x = 60 \implies x = \frac{60}{6} = 10 \).
\( 6 \cdot x = 60 \implies x = \frac{60}{6} = 10 \).
Dintr-o proporție inițială se pot obține alte proporții (derivate) modificând sau rearanjând termenii, dar păstrând valabilitatea egalității.
1. Proporții derivate cu aceiași termeni:
- Schimbarea extremilor între ei: \( \frac{d}{b} = \frac{c}{a} \)
- Schimbarea mezilor între ei: \( \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \)
- Inversarea ambelor rapoarte: \( \frac{b}{a} = \frac{d}{c} \)
- \( \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} \) (adunarea numitorilor la numărători)
- \( \frac{a}{b-a} = \frac{c}{d-c} \) (scăderea numărătorilor din numitori)
- \( \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d} \) (raportul sumelor)
Dacă \( \frac{x}{y} = \frac{3}{5} \), atunci proporția derivată prin adunarea numitorului la numărător este \( \frac{x+y}{y} = \frac{3+5}{5} \implies \frac{x+y}{y} = \frac{8}{5} \).
Două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când una crește (sau scade) de un număr de ori, cealaltă crește (sau scade) de același număr de ori.
Numerele \( a_1, a_2, \dots, a_n \) sunt direct proporționale cu \( b_1, b_2, \dots, b_n \) dacă:
\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} = k \]
unde \( k \) este coeficientul de proporționalitate.
Proprietatea șirului de rapoarte egale: Orice raport din șir este egal cu raportul dintre suma numărătorilor și suma numitorilor.
\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = \frac{a_1 + a_2 + a_3}{b_1 + b_2 + b_3} \]
Numerele \( x \) și \( y \) sunt direct proporționale cu 2 și 7, iar suma lor este 45. Aflați numerele.
Avem șirul de rapoarte: \( \frac{x}{2} = \frac{y}{7} = k \).
Aplicăm proprietatea sumei: \( \frac{x+y}{2+7} = \frac{45}{9} = 5 \).
Deci, coeficientul \( k = 5 \).
\( x = 2 \cdot 5 = 10 \).
\( y = 7 \cdot 5 = 35 \).
Aplicăm proprietatea sumei: \( \frac{x+y}{2+7} = \frac{45}{9} = 5 \).
Deci, coeficientul \( k = 5 \).
\( x = 2 \cdot 5 = 10 \).
\( y = 7 \cdot 5 = 35 \).
Două mărimi sunt invers proporționale dacă, atunci când una crește de un număr de ori, cealaltă scade de același număr de ori.
Numerele \( a_1, a_2, \dots, a_n \) sunt invers proporționale cu \( b_1, b_2, \dots, b_n \) dacă produsele lor sunt egale:
\[ a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2 = \dots = a_n \cdot b_n = k \]
A fi invers proporțional cu numerele \( b_1, b_2, b_3 \) este echivalent cu a fi direct proporțional cu inversele lor: \( \frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \frac{1}{b_3} \).
Timpul necesar pentru a parcurge o distanță este invers proporțional cu viteza. Dacă viteza se dublează, timpul de parcurgere se înjumătățește (\( v \cdot t = d \)).
Procedeul folosit pentru a calcula o valoare a unei mărimi fizice când se cunosc trei valori ale unor mărimi proporționale (direct sau invers) se numește regula de trei simplă.
Dacă valorile cresc/scad împreună, înmulțim pe diagonală și împărțim la termenul rămas.
Calcul: \( x = \frac{b \cdot c}{a} \)
Dacă o valoare crește în timp ce alta scade, înmulțim termenii de pe aceeași linie și împărțim la termenul rămas.
Calcul: \( y = \frac{a \cdot b}{c} \)
Probleme practice
Ușoară: Un autoturism consumă \( 6 \) litri de combustibil pentru a parcurge \( 100 \text{ km} \). Câți litri va consuma pentru a parcurge \( 350 \text{ km} \)?
Cantitatea de combustibil și distanța sunt mărimi direct proporționale.
Aplicăm regula de trei simplă:
\( 6 \text{ litri} \dots\dots 100 \text{ km} \)
\( x \text{ litri} \dots\dots 350 \text{ km} \)
\( x = \frac{6 \cdot 350}{100} = \frac{2100}{100} = 21 \text{ litri} \).
Aplicăm regula de trei simplă:
\( 6 \text{ litri} \dots\dots 100 \text{ km} \)
\( x \text{ litri} \dots\dots 350 \text{ km} \)
\( x = \frac{6 \cdot 350}{100} = \frac{2100}{100} = 21 \text{ litri} \).
Medie: O echipă formată din \( 8 \) muncitori poate termina o lucrare în \( 15 \) zile. În câte zile ar termina aceeași lucrare o echipă formată din \( 12 \) muncitori, presupunând că toți au același ritm de lucru?
Numărul de muncitori și timpul de execuție sunt mărimi invers proporționale (mai mulți muncitori termină în mai puține zile).
Aplicăm regula de trei simplă:
\( 8 \text{ muncitori} \dots\dots 15 \text{ zile} \)
\( 12 \text{ muncitori} \dots\dots y \text{ zile} \)
Înmulțim pe orizontală: \( y = \frac{8 \cdot 15}{12} = \frac{120}{12} = 10 \text{ zile} \).
Aplicăm regula de trei simplă:
\( 8 \text{ muncitori} \dots\dots 15 \text{ zile} \)
\( 12 \text{ muncitori} \dots\dots y \text{ zile} \)
Înmulțim pe orizontală: \( y = \frac{8 \cdot 15}{12} = \frac{120}{12} = 10 \text{ zile} \).
Dificilă: O sumă de \( 130 \text{ lei} \) este împărțită în trei părți care sunt invers proporționale cu numerele \( 2, 3 \) și \( 4 \). Calculați valoarea fiecărei părți.
Notăm părțile cu \( a, b, c \). Suma lor este \( a + b + c = 130 \).
Deoarece sunt invers proporționale cu \( 2, 3 \) și \( 4 \), avem relația: \[ 2 \cdot a = 3 \cdot b = 4 \cdot c = k \] Din această egalitate, obținem: \( a = \frac{k}{2} \), \( b = \frac{k}{3} \), \( c = \frac{k}{4} \).
Înlocuim în sumă: \[ \frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} = 130 \] Aducem la același numitor (care este 12): \[ \frac{6k}{12} + \frac{4k}{12} + \frac{3k}{12} = 130 \] \[ \frac{13k}{12} = 130 \implies 13k = 1560 \implies k = 120 \] Calculăm părțile:
\( a = \frac{120}{2} = 60 \text{ lei} \)
\( b = \frac{120}{3} = 40 \text{ lei} \)
\( c = \frac{120}{4} = 30 \text{ lei} \).
Deoarece sunt invers proporționale cu \( 2, 3 \) și \( 4 \), avem relația: \[ 2 \cdot a = 3 \cdot b = 4 \cdot c = k \] Din această egalitate, obținem: \( a = \frac{k}{2} \), \( b = \frac{k}{3} \), \( c = \frac{k}{4} \).
Înlocuim în sumă: \[ \frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} = 130 \] Aducem la același numitor (care este 12): \[ \frac{6k}{12} + \frac{4k}{12} + \frac{3k}{12} = 130 \] \[ \frac{13k}{12} = 130 \implies 13k = 1560 \implies k = 120 \] Calculăm părțile:
\( a = \frac{120}{2} = 60 \text{ lei} \)
\( b = \frac{120}{3} = 40 \text{ lei} \)
\( c = \frac{120}{4} = 30 \text{ lei} \).
