Cele mai importante aspecte ale lecției
Împărțirea numerelor întregi se poate realiza dacă modulul deîmpărțitului este multiplul modulului împărțitorului. Împărțitorul nu poate fi $0$.
Regula de bază a semnelor: Aceleași semne $\rightarrow (+)$; Semne diferite $\rightarrow (-)$.
Împărțirea este distributivă la dreapta față de adunare și scădere.
Puterile numerelor întregi respectă cu strictețe aceleași cinci reguli de calcul valabile și la numerele naturale (adunarea exponenților la înmulțire, scăderea la împărțire, înmulțirea lor la puterea unei puteri etc.).
Regula de bază a semnelor: Aceleași semne $\rightarrow (+)$; Semne diferite $\rightarrow (-)$.
Împărțirea este distributivă la dreapta față de adunare și scădere.
Puterile numerelor întregi respectă cu strictețe aceleași cinci reguli de calcul valabile și la numerele naturale (adunarea exponenților la înmulțire, scăderea la împărțire, înmulțirea lor la puterea unei puteri etc.).
Câtul a două numere întregi $a$ și $b$, se notează cu $a : b$. Numărul $a$ se numește deîmpărțit, iar $b$ se numește împărțitor.
Condiție esențială: Împărțitorul nu poate fi zero ($b \neq 0$).
Câtul a două numere întregi este un număr întreg numai dacă modulul deîmpărțitului se împarte exact (este divizibil) la modulul împărțitorului.
Oricare ar fi numerele întregi $a$ și $b$, $b \neq 0$, dacă $|a| : |b| = |c|$ și $a = b \cdot c$, atunci:
\[ a : b = c \]
Justificați de ce putem calcula $(-18) : 6$, dar nu putem calcula $14 : 3$ în mulțimea numerelor întregi.
$|-18| = 18$ și $|6| = 6$. Deoarece 18 este divizibil cu 6, împărțirea $(-18) : 6$ dă un rezultat număr întreg.
$|14| = 14$ și $|3| = 3$. Deoarece 14 nu se împarte exact la 3, rezultatul nu este un număr întreg.
$|14| = 14$ și $|3| = 3$. Deoarece 14 nu se împarte exact la 3, rezultatul nu este un număr întreg.
Dacă deîmpărțitul și împărțitorul au același semn, câtul este pozitiv.
Dacă deîmpărțitul și împărțitorul au semne diferite, câtul este negativ.
Dacă deîmpărțitul și împărțitorul au semne diferite, câtul este negativ.
\[ (+) : (+) = (+) \qquad (-) : (-) = (+) \]
\[ (+) : (-) = (-) \qquad (-) : (+) = (-) \]
Modulul unui cât este egal cu câtul modulelor: $|a : b| = |a| : |b|$.
$(-24) : (-4) = +6$ (același semn $\rightarrow$ rezultat pozitiv)
$(+15) : (-3) = -5$ (semne diferite $\rightarrow$ rezultat negativ)
$(+15) : (-3) = -5$ (semne diferite $\rightarrow$ rezultat negativ)
Efectuați: a) $(+36) : (+9)$; b) $(-42) : (+7)$.
a) $(+36) : (+9) = +4$
b) $(-42) : (+7) = -6$
b) $(-42) : (+7) = -6$
Împărțirea este distributivă la dreapta față de adunare și scădere. Oricare ar fi $a, b, c$ numere întregi (cu $a \neq 0$), dacă $b : a$ și $c : a$ sunt numere întregi, atunci are loc egalitatea:
\[ (b + c) : a = b : a + c : a \]
\[ (b - c) : a = b : a - c : a \]
Calculând direct: $[(-12) + (+6)] : (-3) = (-6) : (-3) = +2$.
Folosind distributivitatea: $(-12) : (-3) + (+6) : (-3) = (+4) + (-2) = +2$.
Folosind distributivitatea: $(-12) : (-3) + (+6) : (-3) = (+4) + (-2) = +2$.
Puterea cu exponent număr natural a unui număr întreg nenul se definește la fel ca la numerele naturale (înmulțirea repetată a bazei).
$(+3)^2 = (+3) \cdot (+3) = +9$
$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$
$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$
Regulile de calcul cu puteri învățate la numere naturale se aplică identic și pentru numerele întregi nenule:
$x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ (înmulțirea puterilor cu aceeași bază)
$x^m : x^n = x^{m-n}$ (împărțirea puterilor cu aceeași bază)
$(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ (puterea unei puteri)
$(x \cdot y)^m = x^m \cdot y^m$ (puterea unui produs)
$(x : y)^m = x^m : y^m$ (puterea unui cât)
$x^m : x^n = x^{m-n}$ (împărțirea puterilor cu aceeași bază)
$(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ (puterea unei puteri)
$(x \cdot y)^m = x^m \cdot y^m$ (puterea unui produs)
$(x : y)^m = x^m : y^m$ (puterea unui cât)
Scrieți sub forma unei singure puteri: $[(-2)^3]^4 \cdot (-2)^5 : (-2)^2$.
Aplicăm regulile pas cu pas:
1. Puterea unei puteri: $[(-2)^3]^4 = (-2)^{3 \cdot 4} = (-2)^{12}$.
2. Înmulțirea: $(-2)^{12} \cdot (-2)^5 = (-2)^{12+5} = (-2)^{17}$.
3. Împărțirea: $(-2)^{17} : (-2)^2 = (-2)^{17-2} = (-2)^{15}$.
1. Puterea unei puteri: $[(-2)^3]^4 = (-2)^{3 \cdot 4} = (-2)^{12}$.
2. Înmulțirea: $(-2)^{12} \cdot (-2)^5 = (-2)^{12+5} = (-2)^{17}$.
3. Împărțirea: $(-2)^{17} : (-2)^2 = (-2)^{17-2} = (-2)^{15}$.
Probleme practice
Ușoară: Calculează rezultatul următoarelor împărțiri:
a) $(-32) : (-8)$
b) $0 : (-5)$
a) $(-32) : (-8)$
b) $0 : (-5)$
a) Ambele numere sunt negative (același semn), deci rezultatul este pozitiv: $(-32) : (-8) = +4$.
b) Zero împărțit la orice număr întreg nenul este zero: $0 : (-5) = 0$.
b) Zero împărțit la orice număr întreg nenul este zero: $0 : (-5) = 0$.
Medie: Determină numărul întreg $x$, știind că $x : (-4) = +7$.
Din definiția împărțirii, deîmpărțitul este produsul dintre împărțitor și cât.
$x = (-4) \cdot (+7)$
Produsul a două numere cu semne diferite este negativ.
$x = -28$.
$x = (-4) \cdot (+7)$
Produsul a două numere cu semne diferite este negativ.
$x = -28$.
Dificilă: Efectuează calculele aplicând regulile de calcul cu puteri, apoi regula semnelor pentru împărțire și adunare:
\[ [(-4)^5 : (-4)^3] + [(-35 + 15) : (-5)] \]
Calculăm prima paranteză pătrată folosind regula de împărțire a puterilor cu aceeași bază:
$(-4)^5 : (-4)^3 = (-4)^{5-3} = (-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = +16$.
Calculăm a doua paranteză pătrată efectuând mai întâi adunarea, apoi împărțirea:
$(-35 + 15) = -20$. Apoi $(-20) : (-5) = +4$.
Adunăm rezultatele:
$(+16) + (+4) = 20$.
