Cele mai importante aspecte ale lecției
- Dreptele în spațiu pot fi coplanare (dacă sunt în același plan) și se pot intersecta (concurente) sau nu (paralele). Dreptele care nu sunt în același plan și nu se intersectează sunt necoplanare.
- Axioma lui Euclid garantează unicitatea paralelei duse printr-un punct exterior la o dreaptă dată.
- Paralelismul este tranzitiv: dacă \( a \parallel b \) și \( b \parallel c \), atunci \( a \parallel c \).
- O secantă care taie două drepte formează 8 unghiuri specifice (alterne interne/externe, corespondente, etc.).
- Teorema fundamentală: Dacă o secantă formează cu două drepte unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Definiția este o afirmație prin care se introduce o noțiune nouă.
Axioma este o propoziție matematică ce oferă o proprietate importantă, evidentă din punct de vedere intuitiv, care nu trebuie demonstrată.
Teorema este o propoziție matematică ce oferă proprietăți importante și necesită demonstrație. Este formată din: ipoteză (ce se dă), concluzie (ce se cere) și demonstrație (șirul logic de justificare).
O dreaptă se află într-un plan (este inclusă) dacă toate punctele sale aparțin planului. Notăm: \( d \subset \alpha \).
Drepte coplanare: drepte situate în același plan. Acestea pot fi:
- Concurente: au exact un punct comun. Exemplu: \( a \cap b = \{A\} \).
- Paralele: nu au niciun punct comun. Notăm: \( a \parallel b \).
Drepte necoplanare: drepte care nu sunt situate în același plan și nu au niciun punct comun (\( a \cap b = \varnothing \)).
Fie un cub \( ABCDEFGH \). Stabiliți relația dintre dreptele \( AB \) și \( AD \), apoi dintre dreptele \( AB \) și \( DH \).
Răspuns:
Dreptele \( AB \) și \( AD \) fac parte din aceeași față (sunt coplanare) și au punctul comun \( A \), deci sunt drepte concurente.
Dreptele \( AB \) și \( DH \) nu se află în același plan și nu se intersectează, deci sunt drepte necoplanare.
Dreptele \( AB \) și \( AD \) fac parte din aceeași față (sunt coplanare) și au punctul comun \( A \), deci sunt drepte concurente.
Dreptele \( AB \) și \( DH \) nu se află în același plan și nu se intersectează, deci sunt drepte necoplanare.
Axioma lui Euclid (Axioma paralelelor): Printr-un punct exterior unei drepte date se poate duce o singură dreaptă paralelă la acea dreaptă.
Relația de paralelism are următoarele proprietăți:
- Reflexivitatea: Orice dreaptă este paralelă cu ea însăși (\( a \parallel a \)).
- Simetria: Dacă \( a \parallel b \), atunci și \( b \parallel a \).
- Tranzitivitatea: Dacă \( a \parallel b \) și \( b \parallel c \), atunci \( a \parallel c \).
Secanta este o dreaptă \( d \) care intersectează două drepte distincte \( a \) și \( b \). Aceasta formează cu cele două drepte opt unghiuri.
Dacă unghiurile se află între dreptele \( a \) și \( b \), se numesc interne. Dacă se află în afara lor, se numesc externe. Ele formează următoarele perechi:
- Alterne interne: situate între drepte, de o parte și de alta a secantei.
- Alterne externe: situate în exteriorul dreptelor, de o parte și de alta a secantei.
- Interne de aceeași parte a secantei: situate între drepte, pe aceeași parte a secantei.
- Externe de aceeași parte a secantei: situate în exteriorul dreptelor, pe aceeași parte a secantei.
- Corespondente: situate de aceeași parte a secantei, unul în interior și unul în exterior (în aceeași poziție relativă față de intersecții).
Teorema de existență a dreptelor paralele:
Dacă două drepte determină cu o secantă o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Ipoteză: Două unghiuri alterne interne sunt congruente.
Concluzie: \( a \parallel b \).
Dacă două drepte determină cu o secantă o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Ipoteză: Două unghiuri alterne interne sunt congruente.
Concluzie: \( a \parallel b \).
Probleme de practică
Ușoară: Se dau trei drepte distincte \( d_1, d_2 \) și \( d_3 \). Știind că \( d_1 \parallel d_2 \) și \( d_2 \parallel d_3 \), ce relație există între dreapta \( d_1 \) și dreapta \( d_3 \)? Cum se numește această proprietate?
Relația este \( d_1 \parallel d_3 \). Aceasta se numește proprietatea de tranzitivitate a relației de paralelism.
Medie: Două drepte \( a \) și \( b \) sunt tăiate de o secantă \( d \). Unul dintre unghiurile formate la intersecția dreptei \( a \) cu secanta \( d \) are măsura de \( 45^\circ \). Unghiul său altern intern de la intersecția dreptei \( b \) cu secanta \( d \) are tot măsura de \( 45^\circ \). Sunt dreptele \( a \) și \( b \) paralele? Justificați răspunsul.
Da, dreptele sunt paralele. Conform Teoremei de existență a dreptelor paralele, dacă două drepte tăiate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne interne congruente (ambele au \( 45^\circ \)), atunci cele două drepte sunt paralele (\( a \parallel b \)).
Dificilă: Se consideră o dreaptă \( d \) și un punct \( A \) care nu aparține dreptei \( d \). De asemenea, se iau două puncte distincte \( M \) și \( N \) astfel încât dreptele \( AM \) și \( AN \) să fie ambele paralele cu dreapta \( d \). Demonstrați că punctele \( A, M, N \) sunt coliniare.
Ipoteză: \( A \notin d, M \neq N; AM \parallel d, AN \parallel d \).
Concluzie: \( A, M, N \) sunt puncte coliniare.
Demonstrație: Din Axioma lui Euclid știm că printr-un punct exterior unei drepte (punctul \( A \) exterior dreptei \( d \)) se poate construi o singură dreaptă paralelă la acea dreaptă. Deoarece ambele drepte \( AM \) și \( AN \) trec prin punctul \( A \) și sunt paralele cu \( d \), ele trebuie să fie una și aceeași dreaptă (coincid). Rezultă că punctele \( A, M \) și \( N \) se află pe aceeași dreaptă, deci sunt coliniare.
Concluzie: \( A, M, N \) sunt puncte coliniare.
Demonstrație: Din Axioma lui Euclid știm că printr-un punct exterior unei drepte (punctul \( A \) exterior dreptei \( d \)) se poate construi o singură dreaptă paralelă la acea dreaptă. Deoarece ambele drepte \( AM \) și \( AN \) trec prin punctul \( A \) și sunt paralele cu \( d \), ele trebuie să fie una și aceeași dreaptă (coincid). Rezultă că punctele \( A, M \) și \( N \) se află pe aceeași dreaptă, deci sunt coliniare.
