Cele mai importante aspecte ale lecției
Esența paralelismului: Două drepte tăiate de o secantă formează unghiuri cu denumiri specifice (alterne, corespondente, de aceeași parte a secantei).
• Dacă dreptele sunt paralele, automat unghiurile alterne și corespondente sunt egale (congruente), iar cele de aceeași parte a secantei însumează \(180^\circ\) (suplementare).
• Această logică funcționează și invers (criterii de paralelism): dacă descoperim oricare dintre aceste egalități de unghiuri sau suplementaritatea menționată la o secantă oarecare, putem concluziona cu certitudine că dreptele analizate sunt paralele.
• Dacă dreptele sunt paralele, automat unghiurile alterne și corespondente sunt egale (congruente), iar cele de aceeași parte a secantei însumează \(180^\circ\) (suplementare).
• Această logică funcționează și invers (criterii de paralelism): dacă descoperim oricare dintre aceste egalități de unghiuri sau suplementaritatea menționată la o secantă oarecare, putem concluziona cu certitudine că dreptele analizate sunt paralele.
O dreaptă care intersectează ("taie") alte două drepte se numește secantă. Secanta formează cu cele două drepte opt unghiuri.
În funcție de poziția lor față de cele două drepte și față de secantă, unghiurile formează perechi remarcabile:
Alterne interne: sunt situate de o parte și de alta a secantei, în interiorul regiunii dintre cele două drepte.
Alterne externe: sunt situate de o parte și de alta a secantei, în exteriorul regiunii dintre cele două drepte.
Corespondente: sunt situate de aceeași parte a secantei, unul în interiorul și celălalt în exteriorul regiunii dintre cele două drepte.
Interne de aceeași parte a secantei: sunt situate între cele două drepte, de aceeași parte a secantei.
Externe de aceeași parte a secantei: sunt situate în afara celor două drepte, de aceeași parte a secantei.
Teorema de existență a dreptelor paralele:
„Dacă două drepte determină cu o secantă o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.”
„Dacă două drepte determină cu o secantă o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.”
Această teoremă stă la baza celorlalte criterii. Două drepte tăiate de o secantă sunt paralele dacă este îndeplinită oricare dintre următoarele condiții:
- formează o pereche de unghiuri alterne (interne sau externe) congruente;
- formează o pereche de unghiuri corespondente congruente;
- formează o pereche de unghiuri de aceeași parte a secantei (interne sau externe) suplementare (suma măsurilor lor este \(180^\circ\)).
Două drepte \( m \) și \( n \) sunt intersectate de secanta \( s \). Dacă un unghi intern are măsura de \( 50^\circ \), iar unghiul său altern intern are tot \( 50^\circ \), ce putem spune despre dreptele \( m \) și \( n \)?
Deoarece cele două unghiuri alterne interne sunt congruente (\( 50^\circ = 50^\circ \)), conform criteriului de paralelism, dreptele \( m \) și \( n \) sunt paralele (\( m \parallel n \)).
Teoremele reciproce ale criteriilor de paralelism ne arată ce se întâmplă când știm deja că dreptele sunt paralele.
Dacă două drepte sunt paralele, atunci ele formează cu orice secantă:
Dacă două drepte sunt paralele, atunci ele formează cu orice secantă:
- perechi de unghiuri alterne interne congruente;
- perechi de unghiuri alterne externe congruente;
- perechi de unghiuri corespondente congruente;
- perechi de unghiuri interne de aceeași parte a secantei suplementare;
- perechi de unghiuri externe de aceeași parte a secantei suplementare.
Dreptele \( a \) și \( b \) sunt paralele și sunt intersectate de o secantă. Dacă unghiul format de dreapta \( a \) cu secanta are măsura de \( 120^\circ \), determinați măsura unghiului intern, de aceeași parte a secantei, format pe dreapta \( b \).
Conform proprietăților dreptelor paralele, unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare.
Prin urmare, suma lor este de \( 180^\circ \). Măsura unghiului căutat este:
\[ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
Proprietățile unghiurilor formate de o secantă ne permit să construim practic o dreaptă paralelă la o dreaptă dată, printr-un punct exterior.
Se trasează o secantă care unește punctul exterior cu dreapta dată, formând astfel un unghi cu aceasta.
În punctul exterior, folosind secanta trasată, se construiește un unghi congruent cu cel format la Pasul 1, având grijă să ocupe o poziție de unghi altern intern.
Latura nou construită a unghiului reprezintă dreapta paralelă cu cea inițială.
Paralelogramul: Figura obținută prin construirea a două perechi de drepte paralele care se intersectează. Se definește ca fiind figura cu laturile opuse paralele două câte două.
Probleme de antrenament
Ușoară: Două drepte paralele sunt tăiate de o secantă. Știind că un unghi are măsura de \( 75^\circ \), determinați măsura unghiului său altern extern.
Deoarece dreptele sunt paralele, unghiurile alterne externe sunt congruente.
Răspuns: Măsura unghiului altern extern este tot \( 75^\circ \).
Răspuns: Măsura unghiului altern extern este tot \( 75^\circ \).
Medie: Două drepte formează cu o secantă două unghiuri corespondente având măsurile exprimate astfel: \( 64^\circ \) și \( 2x - 14^\circ \). Pentru ce valoare a lui \( x \) dreptele sunt paralele?
Pentru ca dreptele să fie paralele, unghiurile corespondente trebuie să fie congruente (să aibă măsuri egale):
\[ 2x - 14^\circ = 64^\circ \]
\[ 2x = 64^\circ + 14^\circ \]
\[ 2x = 78^\circ \]
\[ x = 39^\circ \]
Dificilă: Dreptele \( d_1 \) și \( d_2 \) sunt paralele, tăiate de secanta \( d_3 \). Măsura unuia dintre unghiurile interne de aceeași parte a secantei este de trei ori mai mare decât măsura celuilalt unghi intern de aceeași parte a secantei. Calculați măsurile celor două unghiuri.
Notăm măsura celui mai mic unghi cu \( y \). Măsura celuilalt unghi va fi \( 3y \).
Știm că unghiurile interne de aceeași parte a secantei formate de drepte paralele sunt suplementare: \[ y + 3y = 180^\circ \] \[ 4y = 180^\circ \] \[ y = 45^\circ \] Al doilea unghi are măsura: \( 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ \).
Răspuns: Unghiurile au \( 45^\circ \) și \( 135^\circ \).
Știm că unghiurile interne de aceeași parte a secantei formate de drepte paralele sunt suplementare: \[ y + 3y = 180^\circ \] \[ 4y = 180^\circ \] \[ y = 45^\circ \] Al doilea unghi are măsura: \( 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ \).
Răspuns: Unghiurile au \( 45^\circ \) și \( 135^\circ \).
Dificilă: Fie triunghiul \( ABC \). Prin punctul \( A \) se construiește dreapta \( d \) paralelă cu latura \( BC \). Demonstrați că unghiul pe care dreapta \( d \) îl face cu latura \( AB \) în interiorul triunghiului prelungit este congruent cu unghiul \( \sphericalangle ABC \).
Deoarece dreapta \( d \) este paralelă cu \( BC \) (\( d \parallel BC \)), iar latura \( AB \) este considerată o secantă ce intersectează aceste două paralele, unghiul format de dreapta \( d \) cu secanta \( AB \) și unghiul \( \sphericalangle ABC \) se află în poziție de unghiuri alterne interne.
Conform proprietăților dreptelor paralele, unghiurile alterne interne sunt congruente. Prin urmare, cele două unghiuri sunt congruente.
Conform proprietăților dreptelor paralele, unghiurile alterne interne sunt congruente. Prin urmare, cele două unghiuri sunt congruente.
