Cele mai importante aspecte ale lecției
- Bisectoarele unghiurilor unui triunghi se intersectează întotdeauna într-un singur punct (\( I \)).
- Punctul \( I \) se numește centrul cercului înscris în triunghi.
- Punctul de intersecție este egal depărtat de toate cele trei laturi ale triunghiului, distanța fiind egală cu raza (\( r \)) cercului înscris.
- Pentru a afla măsura unui unghi al triunghiului cunoscând unghiul format de bisectoare, înmulțim acel unghi cu 2 (Ex: \( \sphericalangle ABC = 2 \cdot \sphericalangle IBC \)).
Bisectoarea într-un triunghi este bisectoarea unuia dintre unghiurile interioare ale triunghiului. Deoarece un triunghi are trei unghiuri, acesta are trei bisectoare.
Axa de simetrie a oricărui unghi este însăși bisectoarea acelui unghi, deoarece îl împarte în două unghiuri cu măsuri egale.
Dacă semidreapta \( AD \) este bisectoarea unghiului \( \sphericalangle BAC \) dintr-un triunghi \( ABC \), iar \( \sphericalangle BAD = 25^{\circ} \), atunci și \( \sphericalangle CAD = 25^{\circ} \), ceea ce înseamnă că măsura întregului unghi este \( \sphericalangle BAC = 50^{\circ} \).
Bisectoarele oricărui triunghi sunt concurente (se intersectează) într-un singur punct. Acest punct se notează, de regulă, cu \( I \).
Cercul înscris în triunghi este cercul care atinge (este tangent la) toate cele trei laturi ale triunghiului.
Punctul \( I \), intersecția bisectoarelor, reprezintă centrul cercului înscris în triunghi.
Distanțele de la punctul de concurență \( I \) la cele trei laturi ale triunghiului sunt egale între ele. Aceste distanțe reprezintă raza (\( r \)) cercului înscris în triunghi.
Distanța de la un punct la o dreaptă se măsoară întotdeauna pe perpendiculara coborâtă din punct pe acea dreaptă. Prin urmare, perpendicularele din \( I \) pe laturi sunt razele cercului înscris.
Probleme practice
Ușoară: Într-un triunghi \( MNP \), semidreapta \( MR \) este bisectoarea unghiului \( \sphericalangle NMP \) (\( R \in NP \)). Dacă măsura unghiului \( \sphericalangle NMP \) este de \( 84^{\circ} \), determinați măsura unghiului \( \sphericalangle NMR \).
Deoarece \( MR \) este bisectoare, ea împarte unghiul \( \sphericalangle NMP \) în două unghiuri egale.
\[ \sphericalangle NMR = \sphericalangle NMP : 2 \]
\[ \sphericalangle NMR = 84^{\circ} : 2 = 42^{\circ} \]
Răspuns: \( 42^{\circ} \)
Medie: Se consideră un triunghi \( ABC \) unde se notează cu \( I \) punctul de intersecție a bisectoarelor. Se știe că distanța de la punctul \( I \) la latura \( AB \) este de \( 5 \text{ cm} \). Care este distanța de la punctul \( I \) la latura \( BC \)? Justificați.
Punctul \( I \) fiind intersecția bisectoarelor triunghiului, el reprezintă centrul cercului înscris în triunghiul \( ABC \).
Conform proprietății bisectoarelor, punctul \( I \) este egal depărtat de toate laturile triunghiului, distanța reprezentând raza cercului înscris.
Dacă distanța de la \( I \) la \( AB \) este \( 5 \text{ cm} \), atunci distanța de la \( I \) la \( BC \) este egală tot cu \( 5 \text{ cm} \).
Răspuns: \( 5 \text{ cm} \)
Conform proprietății bisectoarelor, punctul \( I \) este egal depărtat de toate laturile triunghiului, distanța reprezentând raza cercului înscris.
Dacă distanța de la \( I \) la \( AB \) este \( 5 \text{ cm} \), atunci distanța de la \( I \) la \( BC \) este egală tot cu \( 5 \text{ cm} \).
Răspuns: \( 5 \text{ cm} \)
Dificilă: În triunghiul \( ABC \), bisectoarele unghiurilor se intersectează în punctul \( I \). Știind că \( \sphericalangle IBC = 30^{\circ} \) și \( \sphericalangle ICB = 40^{\circ} \), calculați măsura unghiului \( \sphericalangle BAC \).
- Deoarece semidreapta \( BI \) este bisectoarea unghiului \( \sphericalangle ABC \), măsura unghiului complet este: \[ \sphericalangle ABC = 2 \cdot \sphericalangle IBC = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \]
- Deoarece semidreapta \( CI \) este bisectoarea unghiului \( \sphericalangle ACB \), măsura unghiului complet este: \[ \sphericalangle ACB = 2 \cdot \sphericalangle ICB = 2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ} \]
- Suma măsurilor unghiurilor oricărui triunghi este \( 180^{\circ} \): \[ \sphericalangle BAC + \sphericalangle ABC + \sphericalangle ACB = 180^{\circ} \] \[ \sphericalangle BAC + 60^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ} \] \[ \sphericalangle BAC + 140^{\circ} = 180^{\circ} \] \[ \sphericalangle BAC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \]
