Cele mai importante aspecte ale lecției
- Metoda triunghiurilor congruente: Pentru a demonstra că segmente sau unghiuri sunt egale, le integrăm în două triunghiuri și demonstrăm că triunghiurile sunt congruente.
- Triunghiul isoscel: Are laturile egale \(\iff\) are unghiurile de la bază egale.
- Bisectoarea: Orice punct de pe bisectoare se află la distanțe egale față de laturile unghiului (și invers).
- Mediatoarea: Orice punct de pe mediatoare se află la distanțe egale de capetele segmentului (și invers).
Pentru a demonstra că două segmente sau două unghiuri sunt congruente, se folosește adesea metoda triunghiurilor congruente. Aceasta se bazează pe faptul că, în două triunghiuri congruente, elementele corespunzătoare (laturi și unghiuri) sunt congruente.
Raționamentul presupune parcurgerea următoarelor etape:
Se identifică două triunghiuri care conțin ca elemente laturile sau unghiurile a căror congruență trebuie demonstrată.
Se demonstrează congruența celor două triunghiuri folosind unul dintre cazurile cunoscute (LUL, ULU, LLL pentru oarecare sau CC, CU, IC, IU pentru dreptunghice).
Pe baza definiției triunghiurilor congruente, se concluzionează că toate elementele corespunzătoare sunt congruente, inclusiv cele cerute în problemă.
Folosind metoda triunghiurilor congruente, se pot demonstra două proprietăți fundamentale referitoare la triunghiul isoscel, care sunt reciproce una alteia:
Teorema directă: Dacă un triunghi este isoscel, atunci el are unghiurile de la bază congruente.
Teorema reciprocă: Dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci triunghiul este isoscel.
Cele două teoreme pot fi restrânse într-o singură afirmație echivalentă: Un triunghi este isoscel dacă și numai dacă are două unghiuri congruente.
\[ \triangle ABC \text{ oarecare, } AB \equiv AC \iff \measuredangle B \equiv \measuredangle C \]
În triunghiul \( DEF \), se știe că \( \measuredangle D = 50^\circ \) și \( \measuredangle E = 50^\circ \). Ce fel de triunghi este \( DEF \)?
Deoarece triunghiul are două unghiuri congruente (\( \measuredangle D \equiv \measuredangle E \)), conform teoremei reciproce a triunghiului isoscel, triunghiul \( DEF \) este isoscel, având laturile opuse acestor unghiuri congruente: \( EF \equiv DF \).
Distanța de la un punct la o dreaptă se măsoară întotdeauna pe perpendiculara dusă din acel punct pe dreaptă.
Teoremă: Un punct este situat pe bisectoarea unui unghi dacă și numai dacă este egal depărtat de laturile unghiului.
Această teoremă include două afirmații:
- Directă: Dacă \( P \) aparține bisectoarei unghiului \( \measuredangle XOY \), iar \( PA \perp OX \) și \( PB \perp OY \), atunci \( PA \equiv PB \).
- Reciprocă: Dacă un punct \( P \) din interiorul unghiului respectă condiția \( PA \equiv PB \) (unde \( PA \) și \( PB \) sunt distanțele la laturi), atunci semi-dreapta \( OP \) este bisectoarea unghiului.
Teoremă: Un punct este situat pe mediatoarea unui segment dacă și numai dacă este egal depărtat de capetele segmentului.
La fel ca la bisectoare, și aici există o dublă implicație:
- Directă: Dacă \( d \) este mediatoarea segmentului \( AB \) și \( M \in d \), atunci \( MA \equiv MB \).
- Reciprocă: Dacă un punct \( M \) respectă relația \( MA \equiv MB \), atunci punctul \( M \) se află obligatoriu pe mediatoarea segmentului \( AB \).
Probleme de antrenament
Nivel Ușor: Fie \( AB \) un segment cu lungimea de \( 10 \text{ cm} \) și \( d \) mediatoarea sa. Un punct \( M \) este situat pe dreapta \( d \) astfel încât distanța de la \( M \) la \( A \) este de \( 13 \text{ cm} \). Care este lungimea segmentului \( MB \)?
Conform proprietății mediatoarei unui segment, orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului.
Deoarece \( M \in d \) (mediatoarea lui \( AB \)), rezultă că \( MA \equiv MB \).
Prin urmare, \( MB = MA = 13 \text{ cm} \).
Deoarece \( M \in d \) (mediatoarea lui \( AB \)), rezultă că \( MA \equiv MB \).
Prin urmare, \( MB = MA = 13 \text{ cm} \).
Nivel Mediu: Fie unghiul \( \measuredangle XOY \) și \( P \) un punct pe bisectoarea acestuia. Fie \( A \in OX \) și \( B \in OY \) astfel încât \( PA \perp OX \) și \( PB \perp OY \). Dacă \( PA = 2x - 5 \) și \( PB = x + 7 \), determinați valoarea lui \( x \) și lungimea distanței de la \( P \) la laturile unghiului.
Conform proprietății bisectoarei, un punct aflat pe bisectoare este egal depărtat de laturile unghiului.
Deoarece \( PA \perp OX \) și \( PB \perp OY \), rezultă că distanțele sunt \( PA \) și \( PB \).
Avem \( PA \equiv PB \implies 2x - 5 = x + 7 \).
Rezolvând ecuația: \( 2x - x = 7 + 5 \implies x = 12 \).
Distanța este: \( PA = 2(12) - 5 = 24 - 5 = 19 \).
Răspuns: \( x = 12 \), distanța este \( 19 \).
Deoarece \( PA \perp OX \) și \( PB \perp OY \), rezultă că distanțele sunt \( PA \) și \( PB \).
Avem \( PA \equiv PB \implies 2x - 5 = x + 7 \).
Rezolvând ecuația: \( 2x - x = 7 + 5 \implies x = 12 \).
Distanța este: \( PA = 2(12) - 5 = 24 - 5 = 19 \).
Răspuns: \( x = 12 \), distanța este \( 19 \).
Nivel Dificil: Fie triunghiul isoscel \( ABC \) cu \( AB \equiv AC \). Fie \( M \) mijlocul laturii \( BC \). Fără a folosi proprietățile liniilor importante în triunghiul isoscel, ci aplicând exclusiv metoda triunghiurilor congruente, demonstrați că dreapta \( AM \) este mediatoarea segmentului \( BC \).
Pentru a demonstra că \( AM \) este mediatoarea lui \( BC \), trebuie să arătăm că trece prin mijlocul lui \( BC \) (dat din ipoteză, \( BM \equiv MC \)) și că este perpendiculară pe \( BC \) (\( AM \perp BC \)).
Comparăm \( \triangle ABM \) cu \( \triangle ACM \): \[ \begin{cases} AB \equiv AC \text{ (din ipoteză)} \\ BM \equiv CM \text{ (M este mijlocul lui BC)} \\ AM \equiv AM \text{ (latură comună)} \end{cases} \] Conform cazului LLL (Latură-Latură-Latură), obținem \( \triangle ABM \equiv \triangle ACM \).
Din congruența triunghiurilor, deducem că unghiurile corespondente sunt congruente: \( \measuredangle AMB \equiv \measuredangle AMC \).
Deoarece punctele \( B, M, C \) sunt coliniare, cele două unghiuri sunt suplementare: \( \measuredangle AMB + \measuredangle AMC = 180^\circ \).
Cum ele sunt egale, fiecare are \( 180^\circ : 2 = 90^\circ \). Prin urmare, \( AM \perp BC \).
Deoarece \( AM \perp BC \) și \( M \) este mijlocul lui \( BC \), rezultă că \( AM \) este mediatoarea segmentului \( BC \).
Comparăm \( \triangle ABM \) cu \( \triangle ACM \): \[ \begin{cases} AB \equiv AC \text{ (din ipoteză)} \\ BM \equiv CM \text{ (M este mijlocul lui BC)} \\ AM \equiv AM \text{ (latură comună)} \end{cases} \] Conform cazului LLL (Latură-Latură-Latură), obținem \( \triangle ABM \equiv \triangle ACM \).
Din congruența triunghiurilor, deducem că unghiurile corespondente sunt congruente: \( \measuredangle AMB \equiv \measuredangle AMC \).
Deoarece punctele \( B, M, C \) sunt coliniare, cele două unghiuri sunt suplementare: \( \measuredangle AMB + \measuredangle AMC = 180^\circ \).
Cum ele sunt egale, fiecare are \( 180^\circ : 2 = 90^\circ \). Prin urmare, \( AM \perp BC \).
Deoarece \( AM \perp BC \) și \( M \) este mijlocul lui \( BC \), rezultă că \( AM \) este mediatoarea segmentului \( BC \).
