Cele mai importante aspecte ale lecției
Recunoașterea triunghiului isoscel: Un triunghi este isoscel dacă are două unghiuri egale sau dacă două linii importante se suprapun (ex. o înălțime este și mediană).
Proprietăți esențiale: Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt congruente. Cele 4 linii importante (înălțime, mediană, bisectoare, mediatoare) duse din vârful opus bazei reprezintă același segment (coincid). Liniile importante duse pe laturile egale sunt la rândul lor egale.
Triunghiul echilateral: Orice triunghi isoscel care are un unghi de \( 60^\circ \) devine automat echilateral. Într-un triunghi echilateral, coincidența liniilor importante se aplică pentru toate cele trei vârfuri, nu doar pentru unul.
Proprietăți esențiale: Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt congruente. Cele 4 linii importante (înălțime, mediană, bisectoare, mediatoare) duse din vârful opus bazei reprezintă același segment (coincid). Liniile importante duse pe laturile egale sunt la rândul lor egale.
Triunghiul echilateral: Orice triunghi isoscel care are un unghi de \( 60^\circ \) devine automat echilateral. Într-un triunghi echilateral, coincidența liniilor importante se aplică pentru toate cele trei vârfuri, nu doar pentru unul.
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel, este suficient să arătăm că are două laturi congruente, două unghiuri congruente sau că două linii importante coincid.
Dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci triunghiul este isoscel.
Dacă două dintre liniile importante ale unui triunghi coincid (de exemplu, o mediană este și înălțime, sau o bisectoare este și înălțime), atunci triunghiul este isoscel.
Dacă mediatoarea unei laturi a unui triunghi trece printr-un vârf al triunghiului, atunci triunghiul este isoscel.
Dacă în \( \triangle ABC \), segmentul \( AM \) (unde \( M \in BC \)) este atât mediană (\( BM \equiv CM \)), cât și înălțime (\( AM \perp BC \)), atunci \( \triangle ABC \) este isoscel cu \( AB \equiv AC \).
În triunghiul \( DEF \), bisectoarea unghiului \( D \) cade perpendicular pe latura \( EF \). Ce fel de triunghi este \( DEF \)?
Deoarece linia dusă din \( D \) este simultan bisectoare și înălțime (cade perpendicular), două linii importante coincid. Prin urmare, triunghiul \( DEF \) este isoscel.
Dacă știm deja că un triunghi este isoscel, el se bucură de o serie de proprietăți specifice referitoare la unghiuri și linii importante.
Într-un triunghi isoscel, unghiurile alăturate bazei sunt congruente.
Suprapunerea liniilor importante: Bisectoarea unghiului opus bazei, mediatoarea bazei, înălțimea și mediana corespunzătoare bazei unui triunghi isoscel coincid. Această dreaptă comună este și axă de simetrie a triunghiului.
Dacă un triunghi este isoscel, atunci:
- medianele corespunzătoare laturilor congruente sunt congruente;
- bisectoarele unghiurilor congruente sunt congruente;
- înălțimile corespunzătoare laturilor congruente sunt congruente.
Triunghiul \( ABC \) este isoscel cu baza \( BC \). Știind că \( AD \) este înălțime (\( D \in BC \)) și că măsura unghiului \( BAD \) este de \( 30^\circ \), determinați măsura unghiului \( BAC \).
Deoarece \( \triangle ABC \) este isoscel cu baza \( BC \), înălțimea \( AD \) corespunzătoare bazei este și bisectoare pentru unghiul \( A \).
Astfel, \( \measuredangle BAD \equiv \measuredangle CAD = 30^\circ \).
Măsura unghiului \( BAC \) este \( \measuredangle BAD + \measuredangle CAD = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \).
Astfel, \( \measuredangle BAD \equiv \measuredangle CAD = 30^\circ \).
Măsura unghiului \( BAC \) este \( \measuredangle BAD + \measuredangle CAD = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \).
Triunghiul echilateral este un caz particular de triunghi isoscel, în care toate laturile (și toate unghiurile) sunt congruente.
Dacă un triunghi isoscel are un unghi cu măsura de \( 60^\circ \), atunci triunghiul este echilateral.
Nu contează care unghi are \( 60^\circ \). Dacă unghiul de la vârf are \( 60^\circ \), cele de la bază vor avea \( (180^\circ - 60^\circ) : 2 = 60^\circ \). Dacă un unghi de la bază are \( 60^\circ \), celălalt de la bază are tot \( 60^\circ \), iar cel de la vârf va fi \( 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ \).
Dacă un triunghi este echilateral, atunci bisectoarea oricărui unghi, înălțimea, mediatoarea și mediana corespunzătoare laturii opuse acelui unghi coincid.
Fie triunghiul isoscel \( MNP \) cu \( MN \equiv MP \). Dacă \( \measuredangle N = 60^\circ \), ce putem afirma despre liniile importante duse din vârful \( N \) pe latura \( MP \)?
Deoarece triunghiul este isoscel și are un unghi de \( 60^\circ \) (\( \measuredangle N = 60^\circ \)), el este, de fapt, echilateral.
Într-un triunghi echilateral, liniile importante coincid pentru toate vârfurile, nu doar pentru cel inițial. Deci, bisectoarea, înălțimea, mediana și mediatoarea duse din vârful \( N \) pe latura \( MP \) coincid.
Într-un triunghi echilateral, liniile importante coincid pentru toate vârfurile, nu doar pentru cel inițial. Deci, bisectoarea, înălțimea, mediana și mediatoarea duse din vârful \( N \) pe latura \( MP \) coincid.
Exerciții
Ușoară: Se consideră un triunghi \( ABC \) cu \( AB \equiv AC \). Știind că \( \measuredangle A = 80^\circ \), calculează măsurile unghiurilor \( B \) și \( C \).
Deoarece \( AB \equiv AC \), triunghiul este isoscel cu baza \( BC \).
Prin urmare, \( \measuredangle B \equiv \measuredangle C \).
Suma unghiurilor este \( 180^\circ \).
\( \measuredangle B = \measuredangle C = (180^\circ - \measuredangle A) : 2 = (180^\circ - 80^\circ) : 2 = 100^\circ : 2 = 50^\circ \).
Prin urmare, \( \measuredangle B \equiv \measuredangle C \).
Suma unghiurilor este \( 180^\circ \).
\( \measuredangle B = \measuredangle C = (180^\circ - \measuredangle A) : 2 = (180^\circ - 80^\circ) : 2 = 100^\circ : 2 = 50^\circ \).
Medie: Se consideră un triunghi \( ABC \). Demonstrează că dacă \( \measuredangle A = 65^\circ \) și \( \measuredangle B = 50^\circ \), atunci triunghiul \( ABC \) este isoscel.
Calculăm măsura celui de-al treilea unghi, \( \measuredangle C \):
\( \measuredangle C = 180^\circ - (\measuredangle A + \measuredangle B) \)
\( \measuredangle C = 180^\circ - (65^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \).
Observăm că \( \measuredangle A = 65^\circ \) și \( \measuredangle C = 65^\circ \).
Deoarece triunghiul are două unghiuri congruente (\( \measuredangle A \equiv \measuredangle C \)), conform teoremei, triunghiul \( ABC \) este isoscel (cu baza \( AC \) și laturile congruente \( BA \equiv BC \)).
\( \measuredangle C = 180^\circ - (\measuredangle A + \measuredangle B) \)
\( \measuredangle C = 180^\circ - (65^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \).
Observăm că \( \measuredangle A = 65^\circ \) și \( \measuredangle C = 65^\circ \).
Deoarece triunghiul are două unghiuri congruente (\( \measuredangle A \equiv \measuredangle C \)), conform teoremei, triunghiul \( ABC \) este isoscel (cu baza \( AC \) și laturile congruente \( BA \equiv BC \)).
Dificilă: În triunghiul isoscel \( ABC \) cu \( AB \equiv AC \), se construiește mediana \( AM \), \( M \in BC \). Dacă măsura unghiului \( MAC \) este egală cu \( 25^\circ \), calculează măsurile tuturor unghiurilor triunghiului \( ABC \).
În triunghiul isoscel \( ABC \), mediana \( AM \) corespunzătoare bazei este și bisectoare pentru unghiul \( A \).
Deoarece \( AM \) este bisectoare, \( \measuredangle BAM \equiv \measuredangle MAC = 25^\circ \).
Măsura totală a unghiului \( A \) este \( \measuredangle A = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ \).
Unghiurile de la baza \( BC \) sunt congruente: \( \measuredangle B \equiv \measuredangle C = (180^\circ - 50^\circ) : 2 = 130^\circ : 2 = 65^\circ \).
Răspuns: \( \measuredangle A = 50^\circ \), \( \measuredangle B = 65^\circ \), \( \measuredangle C = 65^\circ \).
