Cele mai importante aspecte ale lecției
- Triunghi echilateral: Are laturile egale și unghiurile de \( 60^\circ \). Un triunghi isoscel cu un unghi de \( 60^\circ \) devine echilateral. Aici, medianele, bisectoarele, înălțimile și mediatoarele coincid.
- Teorema medianei: În orice triunghi dreptunghic, mediana pe ipotenuză este \( \frac{\text{ipotenuză}}{2} \).
- Teorema unghiului de 30°: În triunghiul dreptunghic, cateta de vizavi de unghiul de \( 30^\circ \) este \( \frac{\text{ipotenuză}}{2} \).
Triunghiul echilateral este triunghiul care are toate laturile congruente. Pe lângă definiție, există și alte modalități de a demonstra că un triunghi este echilateral.
Dacă un triunghi are toate unghiurile congruente, atunci triunghiul este echilateral.
Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsura egală cu \( 60^\circ \), atunci triunghiul este echilateral.
Dacă un triunghi isoscel are un unghi (oarecare) cu măsura egală cu \( 60^\circ \), atunci triunghiul este echilateral.
În triunghiul \( ABC \) se știe că \( AB = AC \) și \( \measuredangle C = 60^\circ \). Este triunghiul \( ABC \) echilateral?
Deoarece \( AB = AC \), triunghiul \( ABC \) este isoscel. Conform regulii de mai sus, un triunghi isoscel care are un unghi de \( 60^\circ \) (în acest caz \( \measuredangle C \)) este echilateral. Deci, răspunsul este da.
Dacă un triunghi este deja cunoscut ca fiind echilateral, el beneficiază de următoarele proprietăți esențiale:
Toate unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente și fiecare are măsura de \( 60^\circ \).
Într-un triunghi echilateral, bisectoarea oricărui unghi, înălțimea, mediatoarea și mediana corespunzătoare laturii opuse acelui unghi coincid. (Liniile importante din triunghi se suprapun).
Deoarece liniile importante coincid, într-un triunghi echilateral, centrul cercului înscris, ortocentrul, centrul cercului circumscris și centrul de greutate se află toate în același punct (coincid).
Fie triunghiul echilateral \( MNP \). Se trasează înălțimea \( MQ \) corespunzătoare laturii \( NP \). Ce măsură are unghiul \( \measuredangle NMQ \)?
Deoarece \( MNP \) este echilateral, unghiul \( \measuredangle NMP \) are \( 60^\circ \). În triunghiul echilateral, înălțimea \( MQ \) este și bisectoare pentru unghiul \( \measuredangle NMP \). Astfel, \( MQ \) împarte unghiul de \( 60^\circ \) în două părți egale: \( 60^\circ : 2 = 30^\circ \). Măsura unghiului \( \measuredangle NMQ \) este \( 30^\circ \).
Această teoremă se aplică strict în cazul triunghiurilor dreptunghice și vizează doar mediana dusă din unghiul drept.
Dacă un triunghi este dreptunghic, atunci lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
\[ AM = \frac{BC}{2} \]
(unde \( A \) este unghiul drept, iar \( BC \) este ipotenuza).
Reciproca teoremei medianei: Dacă într-un triunghi lungimea unei mediane este jumătate din lungimea laturii pe care cade, atunci triunghiul este dreptunghic (și are unghiul drept în vârful din care pornește mediana).
Într-un triunghi dreptunghic, dacă măsura unui unghi este de \( 30^\circ \), atunci lungimea catetei care se opune acestui unghi este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
Dacă triunghiul \( ABC \) are \( \measuredangle A = 90^\circ \) și \( \measuredangle C = 30^\circ \), atunci cateta opusă unghiului \( C \) este \( AB \).
Conform teoremei: \( AB = \frac{BC}{2} \).
Probleme de antrenament
Ușoară: Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are lungimea de \( 18 \text{ cm} \). Calculați lungimea medianei duse din vârful unghiului drept.
Conform teoremei medianei, într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză.
\[ \text{Mediana} = \frac{\text{Ipotezuna}}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ cm} \]
Medie: Triunghiul \( DEF \) are \( \measuredangle D = 90^\circ \) și \( \measuredangle E = 60^\circ \). Știind că lungimea ipotenuzei \( EF \) este de \( 24 \text{ cm} \), aflați lungimea catetei \( DF \).
Suma măsurilor unghiurilor ascuțite într-un triunghi dreptunghic este \( 90^\circ \).
\[ \measuredangle F = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]
Cateta opusă unghiului de \( 30^\circ \) (\( \measuredangle F \)) este cateta \( DE \). Conform teoremei unghiului de \( 30^\circ \):
\[ DE = \frac{EF}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ cm} \]
Atenție: S-a cerut aflarea catetei \( DF \), nu \( DE \). Pentru a afla \( DF \), am avea nevoie de Teorema lui Pitagora, care ne-ar da \( DF = \sqrt{24^2 - 12^2} = 12\sqrt{3} \text{ cm} \). Alternativ, dacă cerința se referea la cateta mai scurtă (\( DE \)), răspunsul este \( 12 \text{ cm} \).
Dificilă: Fie \( ABC \) un triunghi isoscel cu baza \( BC \). Se știe că \( \measuredangle A = 60^\circ \), iar perimetrul triunghiului este de \( 36 \text{ cm} \). Dacă \( AD \perp BC \) (\( D \in BC \)), aflați lungimea segmentului \( BD \).
Pasul 1: Deoarece triunghiul \( ABC \) este isoscel cu un unghi de \( 60^\circ \), deducem că el este echilateral.
Pasul 2: Toate laturile sunt egale, deci lungimea unei laturi este \( BC = \frac{36}{3} = 12 \text{ cm} \).
Pasul 3: Într-un triunghi echilateral, înălțimea \( AD \) este simultan și mediană.
Pasul 4: Deoarece \( AD \) este mediană, \( D \) este mijlocul laturii \( BC \). Astfel, \( BD = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \).
Pasul 2: Toate laturile sunt egale, deci lungimea unei laturi este \( BC = \frac{36}{3} = 12 \text{ cm} \).
Pasul 3: Într-un triunghi echilateral, înălțimea \( AD \) este simultan și mediană.
Pasul 4: Deoarece \( AD \) este mediană, \( D \) este mijlocul laturii \( BC \). Astfel, \( BD = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \).
